Tháng Bảy 2, 2022

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

I. PHƯƠNG PHÁP

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$), trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ và trục $Ox$

  • Bước 1: Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .$
  • Bước 2: Xét dấu biểu thức $f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$. Từ đó phân được đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thành các đoạn nhỏ, giả sử: $\left[ {a;b} \right]$ $ = \left[ {a;{c_1}} \right] \cup \left[ {{c_1};{c_2}} \right] \cup … \cup \left[ {{c_k};b} \right]$ mà trên mỗi đoạn $f\left( x \right)$ chỉ có một dấu.
  • Bước 3: Khi đó: $S = \int\limits_a^{{c_1}} {\left| {f(x)} \right|} dx + \int\limits_{{c_1}}^{{c_2}} {\left| {f(x)} \right|} dx$ $ + … + \int\limits_{{c_k}}^b {\left| {f(x)} \right|} dx.$

Chú ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = {\rm{ }}f\left( y \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$) hai đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó công thức tính diện tích là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(y)} \right|dy} .$

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a. Đồ thị hàm số $y = cosx + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ và $x = \frac{{2\pi }}{3}.$

b. Đồ thị hàm số $y = {x^3} – 1$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = 2.$

Giải

a. Ta có: $S = \int\limits_0^{2\pi /3} {\left| {co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 1} \right|dx} $ $ = \int\limits_0^{2\pi /3} {(co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 1)dx} $ $ = \left( {\sin x + x} \right)\left| {_0^{2\pi /3}} \right.$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{2\pi }}{3}.$

b. Ta có: $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} .$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {x^3} – 1$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$, ta có: ${x^3} – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow (x – 1)\left( {{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x{\rm{ }} = {\rm{ }}1.$

Khi đó: $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} $ $ = \int\limits_0^1 {\left( {1 – {x^3}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} – 1} \right)dx} $ $ = \left( {x – \frac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| {_0^1} \right. + \left( {\frac{{{x^4}}}{4} – x} \right)\left| {_1^2} \right. = \frac{7}{2}.$

Nhận xét: Như vậy, để tính các diện tích hình phẳng trên:

  • Ở câu 1.a chúng ta chỉ việc sử dụng công thức cùng với nhận xét $cosx + 1 \ge 0$ để phá dấu trị tuyệt đối. Từ đó, nhận được giá trị của tích phân.
  • Ở câu 1.b chúng ta cần xét dấu đa thức ${x^3} – 1$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$, để từ đó tách tích phân $S$ thành các tích phân nhỏ mà trên đó biểu thức ${x^3} – 1$ không âm hoặc không dương.

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a. Đồ thị hàm số $y = – {x^2} + 3x – 2$ và trục hoành.

b. Đồ thị hàm số $y = {x^3} – 2{x^2} – x + 2$ và trục hoành.

Giải

a. Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = – {x^2} + 3x – 2$ và trục hoành là:
$ – {x^2} + 3x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2.$

Khi đó: $S = \int\limits_1^2 {\left| { – {x^2} + 3x – 2} \right|dx} $ $ = \int\limits_1^2 {\left( { – {x^2} + 3x – 2} \right)dx} $ $ = \left. {\left( { – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} – 2x} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{1}{6}.$

b. Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} – 2x$ và trục hoành là:
${x^3} – 2{x^2} – x + 2{\rm{ }} = 0$ $ \Leftrightarrow (x – 1)({x^2} – x – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1$ hoặc $x = 2.$

Khi đó: $S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|dx} $ $ = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|dx} $ $ + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|dx} $
$ = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right)dx} $ $ + \int\limits_1^2 {\left( { – {x^3} + 2{x^2} + x – 2} \right)dx} $
$ = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^1$ $ + \left. {\left( { – \frac{1}{4}{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x} \right)} \right|_1^2$ $ = 3.$

Nhận xét: Như vậy, để tính các diện tích hình phẳng trên chúng ta đều cần tìm được hai cận $a$, $b$ của tích phân và:

  • Ở câu 2.a vì phương trình hoành độ chỉ có hai nghiệm nên hàm số dưới dấu tích phân chỉ có một dấu.
  •  Ở câu 2.b vì phương trình hoành độ có ba nghiệm nên tích phân $S$ cần được tách thành hai tích phân nhỏ.