Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

I. PHƯƠNG PHÁP

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$), trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ và trục $Ox$

  • Bước 1: Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .$
  • Bước 2: Xét dấu biểu thức $f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$. Từ đó phân được đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thành các đoạn nhỏ, giả sử: $\left[ {a;b} \right]$ $ = \left[ {a;{c_1}} \right] \cup \left[ {{c_1};{c_2}} \right] \cup … \cup \left[ {{c_k};b} \right]$ mà trên mỗi đoạn $f\left( x \right)$ chỉ có một dấu.
  • Bước 3: Khi đó: $S = \int\limits_a^{{c_1}} {\left| {f(x)} \right|} dx + \int\limits_{{c_1}}^{{c_2}} {\left| {f(x)} \right|} dx$ $ + … + \int\limits_{{c_k}}^b {\left| {f(x)} \right|} dx.$

Chú ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = {\rm{ }}f\left( y \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$) hai đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó công thức tính diện tích là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(y)} \right|dy} .$

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a. Đồ thị hàm số $y = cosx + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ và $x = \frac{{2\pi }}{3}.$

b. Đồ thị hàm số $y = {x^3} – 1$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = 2.$

Giải

a. Ta có: $S = \int\limits_0^{2\pi /3} {\left| {co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 1} \right|dx} $ $ = \int\limits_0^{2\pi /3} {(co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 1)dx} $ $ = \left( {\sin x + x} \right)\left| {_0^{2\pi /3}} \right.$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{2\pi }}{3}.$

b. Ta có: $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} .$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {x^3} – 1$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$, ta có: ${x^3} – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow (x – 1)\left( {{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x{\rm{ }} = {\rm{ }}1.$

Khi đó: $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} $ $ = \int\limits_0^1 {\left( {1 – {x^3}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} – 1} \right)dx} $ $ = \left( {x – \frac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| {_0^1} \right. + \left( {\frac{{{x^4}}}{4} – x} \right)\left| {_1^2} \right. = \frac{7}{2}.$

Nhận xét: Như vậy, để tính các diện tích hình phẳng trên:

  • Ở câu 1.a chúng ta chỉ việc sử dụng công thức cùng với nhận xét $cosx + 1 \ge 0$ để phá dấu trị tuyệt đối. Từ đó, nhận được giá trị của tích phân.
  • Ở câu 1.b chúng ta cần xét dấu đa thức ${x^3} – 1$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$, để từ đó tách tích phân $S$ thành các tích phân nhỏ mà trên đó biểu thức ${x^3} – 1$ không âm hoặc không dương.

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a. Đồ thị hàm số $y = – {x^2} + 3x – 2$ và trục hoành.

b. Đồ thị hàm số $y = {x^3} – 2{x^2} – x + 2$ và trục hoành.

Giải

a. Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = – {x^2} + 3x – 2$ và trục hoành là:
$ – {x^2} + 3x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2.$

Khi đó: $S = \int\limits_1^2 {\left| { – {x^2} + 3x – 2} \right|dx} $ $ = \int\limits_1^2 {\left( { – {x^2} + 3x – 2} \right)dx} $ $ = \left. {\left( { – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} – 2x} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{1}{6}.$

b. Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} – 2x$ và trục hoành là:
${x^3} – 2{x^2} – x + 2{\rm{ }} = 0$ $ \Leftrightarrow (x – 1)({x^2} – x – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1$ hoặc $x = 2.$

Khi đó: $S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|dx} $ $ = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|dx} $ $ + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|dx} $
$ = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right)dx} $ $ + \int\limits_1^2 {\left( { – {x^3} + 2{x^2} + x – 2} \right)dx} $
$ = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^1$ $ + \left. {\left( { – \frac{1}{4}{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x} \right)} \right|_1^2$ $ = 3.$

Nhận xét: Như vậy, để tính các diện tích hình phẳng trên chúng ta đều cần tìm được hai cận $a$, $b$ của tích phân và:

  • Ở câu 2.a vì phương trình hoành độ chỉ có hai nghiệm nên hàm số dưới dấu tích phân chỉ có một dấu.
  •  Ở câu 2.b vì phương trình hoành độ có ba nghiệm nên tích phân $S$ cần được tách thành hai tích phân nhỏ.