by Tìm nguyên hàm dạng $\left[ \begin{array}{l}
I = \int {P(x)\sin axdx} \\
I = \int {P(x)c{\rm{osaxdx}}}
\end{array} \right.$ với $P(x)$ là một đa thức
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng nguyên hàm từng phần, thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = P(x)\\
dv = \left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inaxdx}}\\
{\rm{cosaxdx}}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
du = P'(x)dx\\
v = \left[ \begin{array}{l}
\frac{{ – 1}}{a}c{\rm{osax}}\\
\frac{{\rm{1}}}{{\rm{a}}}\sin ax
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ - Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần.
- Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được bậc của đa thức.
* Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Ta có: $I = \int {P(x)c{\rm{osaxdx}}} $ ${{\rm{ = A(x)sinax + B(x)cosax + C}}}$ $(1)$, trong đó $A(x)$ và $B(x)$ là các đa thức cùng bậc với $P(x).$
- Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$: $P(x)c{\rm{osax}}$ ${\rm{ = A'(x)cosax – A(x)a}}{\rm{.sinax}}$ ${\rm{ + B'(x)sinax + aB(x)cosax}}.$
- Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được $A(x)$ và $B(x).$
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức lớn hơn $3$ thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh, vì khi đó ta thực hiện số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, cho nên ta đi đến nhận định như sau:
- Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng $2$: Ta sử dụng cách 1.
- Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng $3$: Ta sử dụng cách 2.
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $\int {x{{\sin }^2}xdx} .$
Giải
Ta có: $I = \int {x\left( {\frac{{1 – c{\rm{os2x}}}}{2}} \right)dx} $ ${ = \frac{1}{2}\int {xdx} – \frac{1}{2}\int {x\cos 2xdx} }$ ${ = \frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{2}J}$ $(1).$
Tính: $J = \int {x\cos 2xdx} .$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = c{\rm{os2xdx}}
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = \frac{1}{2}\sin 2x
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow J = \frac{x}{2}\sin 2x – \frac{1}{2}\int {\sin 2xdx} $ ${ = \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}c{\rm{os2x + C}}}.$
Thay vào $(1)$: $I = \frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}c{\rm{os2x}}} \right)$ $ = \frac{1}{4}\left( {{x^2} – x\sin 2x – \frac{1}{2}c{\rm{os2x}}} \right) + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $I = \int {\left( {{x^3} – {x^2} + 2x – 3} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}dx} .$
Giải
Theo nhận xét trên, ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta có: $I = \int {\left( {{x^3} – {x^2} + 2x – 3} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}dx} $ $ = \left( {{a_1}{x^3} + {b_1}{x^2} + {c_1}x + {d_1}} \right)c{\rm{osx}}$ ${\rm{ + }}\left( {{a_2}{x^3} + {b_2}{x^2} + {c_2}x + {d_2}} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$ $(1).$
Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:
$ \Leftrightarrow \left( {{x^3} – {x^2} + 2x – 3} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$ ${\rm{ = [}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}{x^3} + \left( {3{a_1} + {b_2}} \right){x^2}$ $ + \left( {2{b_1} + {c_2}} \right)x + {c_1} + {d_2}{\rm{]cosx}}$
$ – [{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{x^3} – \left( {3{a_2} – {b_1}} \right){x^2}$ $ – \left( {2{b_2} – {c_1}} \right)x + {c_2} – {d_1}]\sin x$ $(2).$
Đồng nhất thức ta được: $\left\{ \begin{array}{l}
{a_2} = 0\\
3{a_1} + {b_2} = 0\\
2{b_1} + {c_2} = 0\\
{c_1} + {d_2} = 0
\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}
– {a_1} = 1\\
3{a_2} – {b_1} = – 1\\
2{b_2} – {c_1} = 2\\
– {c_2} + {d_1} = – 3
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_1} = – 1;{a_2} = 0\\
{b_1} = 1;{b_2} = 3\\
{c_1} = 4;{c_2} = – 2\\
{d_1} = 1;{d_2} = – 4
\end{array} \right.$
Khi đó: $I = \left( { – {x^3} + {x^2} + 4x + 1} \right)c{\rm{osx}}$ ${\rm{ + }}\left( {{\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} – 2x + 4} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + C}}.$
Ngoài ra ta có thể bài toán trên bằng cách lấy nguyên hàm từng phần ba lần.
