by Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân, biết rằng hai đường chéo vuông góc với nhau và đường cao của nó bằng \(10cm\).
A. \(8\,cm\)
B. \(15\,cm\)
C. \(10\,cm\)
D. \(12\,cm\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
Ta đi chứng minh đường trung bình của hình thang cân \(ABCD\) bằng đường cao đi qua giao điểm của hai đường chéo của hình thang
Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang để tính
Lời giải chi tiết:
Xét hình thang cân \(ABCD\left( AB//CD \right)\) , hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại \(O,\text{ }MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD.\)
Qua \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(E,\) với \(CD\) tại \(F.\)
Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BCD\) có:
\(AD=BC\) (gt)
DC cạnh chung
\(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\) (gt)
\(\Rightarrow \Delta ADC=\Delta BCD(c.g.c)\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{BDC}\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O \)
\(\Rightarrow OC=OD\) (tính chất tam giác cân).
Mà \(AC=BD\) nên \(OA=OB\Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O\).
Lại có \(\widehat{AOB}=90{}^\circ \) (do \(AB\) vuông góc với \(CD\)) nên \(\Delta AOB\) vuông cân tại \(O\) nên \(OE=\frac{AB}{2}\).
Tương tự: tam giác \(DOC\) vuông cân tại \(O\) nên \(FO=\frac{CD}{2}\)
Do đó \(FE=\frac{AB+CD}{2}\)
\(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)
\(\Rightarrow MN=FE=10cm\)
