by Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = {x^2} + m\left( {\sqrt {4 – {x^2}} + 1} \right) – 7$ có điểm chung với trục hoành.
A. $0 \le m \le 3.$
B. $ – 1 \le m \le \frac{7}{3}.$
C. $2 \le m \le \frac{7}{3}.$
D. $2 \le m \le 3.$
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là ${x^2} + m\left( {\sqrt {4 – {x^2}} + 1} \right) – 7 = 0\,\,\,\left( * \right).$
Đặt $t = \sqrt {4 – {x^2}} ,\,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]$, khi đó (*) trở thành: $ – {t^2} + m\left( {t + 1} \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}.$
Xét hàm số $f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}},\,\,\,t \in \left[ {0;2} \right];\,\,\,f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t – 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = – 3\end{array} \right.$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 3,\,\,f\left( 1 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = \frac{7}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 3\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow 2 \le m \le 3.$
