Tháng Ba 29, 2024

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên lớn nhất. A \(x = 24\) B \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\) C \(x = 26\) D \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26} \right\}\)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên lớn nhất.

A \(x = 24\)

B \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\)

C \(x = 26\)

D \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26} \right\}\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: A

Phương pháp giải:

Tính biểu thức: \(P = AB.\) Biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) tử số chia hết cho mẫu số.

Từ đó tìm các giá trị của \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z}\) và tính được các giá trị của \(P\) và kết luận giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}\) và đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 25.\)

Ta có: \(P = A.B = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 – x}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{4}{{25 – x}}.\)

\(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{4}{{25 – x}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\,\, \vdots \,\,\left( {25 – x} \right)\) hay \(\left( {25 – x} \right) \in U\left( 4 \right)\)

Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {25 – x} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}.\)

Ta có bảng giá trị:

\( \Rightarrow \) với \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\)

Qua bảng giá trị ta thấy với \(x = 24\) thì \(P = 4\) là số nguyên lớn nhất.

Vậy \(x = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn A.