by Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{1}{P}\) với \(x > 1\).
A \(\min \frac{1}{P} = 4\)
B \(\min \frac{1}{P} = 5\)
C \(\min \frac{1}{P} = 6\)
D \(\min \frac{1}{P} = 7\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
Tính và biến đổi \(\frac{1}{P}\) sao cho để khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si có thể triệt tiêu được hết x, từ đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{1}{P}.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ge 0,\;x \ne 1.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{P} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x – 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2} + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 1}}\\\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2} + 2\left( {\sqrt x – 1} \right) + 4}}{{\sqrt x – 1}}\\\;\;\;\; = 2 + \left( {\sqrt x – 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x – 1}}.\end{array}\)
Vì \(x > 1\) nên \(\sqrt x – 1 > 0\) \( \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x – 1}} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\left( {\sqrt x – 1} \right)\) và \(\frac{4}{{\sqrt x – 1}}\) ta được:
\(\left( {\sqrt x – 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x – 1}} \ge 2\sqrt 4 = 4 \Rightarrow \frac{1}{P} = 2 + \left( {\sqrt x – 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x – 1}} \ge 2 + 4 = 6\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x – 1 = \frac{4}{{\sqrt x – 1}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x – 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \sqrt x – 1 = 2\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x – 1 > 0} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right)\)
Vậy \(\min \frac{1}{P} = 6\) đạt được khi \(x = 9.\)
Chọn C.
