by Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\)
A \(5\)
B \(9\)
C \(4\)
D \(0\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
– Chia tử thức cho mẫu thức được \(A = \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }} + 1\)
– Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{4}{{\sqrt x }}\)
Lời giải chi tiết:
Với \(x > 0\) ta có: \(A = \frac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}\)\( = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{\sqrt x }}\)\( = \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }} + 1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{4}{{\sqrt x }}\) ta được:
\(\sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{4}{{\sqrt x }}} = 2.2 = 4\)\( \Rightarrow \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }} + 1 \ge 5\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{4}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy GTNN của \(A\) là \(5\) khi \(x = 4\)
Chọn A.
