by Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x .\)
A \( – 2\sqrt 2 \)
B \(2 – 2\sqrt 2 \)
C \( – 2\sqrt 2 – 2\)
D \( – 2\sqrt 2 + 2\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
Biến đổi biểu thức \(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x \) rồi tìm GTLN của biểu thức nhờ bất đẳng thức Cô-si.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)
Ta có: \(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x = 2:\frac{{ – \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} + \sqrt x \)
\(\begin{array}{l} = \frac{{2\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{ – \sqrt x }} + \sqrt x = \frac{{ – 2x – 2\sqrt x – 2 + x}}{{\sqrt x }}\\ = \frac{{ – x – 2\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }} = – \sqrt x – 2 – \frac{2}{{\sqrt x }} = – \left( {\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) – 2.\,\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)\end{array}\)
Với mọi \(x > 0\) ta có: \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{2}{{\sqrt x }} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x ,\,\,\frac{2}{{\sqrt x }}\) ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow – \left( {\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) \le – 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow Q = – \left( {\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) – 2 \le – 2\sqrt 2 – 2.\end{array}\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(Max\,\,Q = – 2\sqrt 2 – 2\) khi \(x = 2.\)
Chọn C.
