by Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = – {x^2} – {y^2} + 2x + 4y – 10\)
A. \( – 3\)
B. \( – 4\)
C. \( – 2\)
D. \( – 5\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} – 2AB + {B^2} = {\left( {A – B} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow – {\left( {A – B} \right)^2} \le 0\) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}P = – {x^2} – {y^2} + 2x + 4y – 10\\\,\,\,\,\, = – {x^2} + 2x – 1 – {y^2} + 4y – 4 – 5\\\,\,\,\,\, = – \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) – \left( {{y^2} – 4y + 4} \right) – 5\\\,\,\,\,\, = – {\left( {x – 1} \right)^2} – {\left( {y – 2} \right)^2} – 5\end{array}\)
Do \(\left\{ \begin{array}{l} – {\left( {x – 1} \right)^2} \le {\rm{0}}\,\,\,\forall x\\ – {\left( {y – 2} \right)^2} \le {\rm{0}}\,\,\,\forall y\end{array} \right. \Rightarrow P \le – 5\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – {\left( {x – 1} \right)^2} = 0\\ – {\left( {y – 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \( – 5\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)
Chọn D.
