Phân tích đa thức \(A = x{\left( {y – z} \right)^3} + y{\left( {z – x} \right)^3} + z{\left( {x – y} \right)^3}\) thành nhân tử

Phân tích đa thức \(A = x{\left( {y – z} \right)^3} + y{\left( {z – x} \right)^3} + z{\left( {x – y} \right)^3}\) thành nhân tử

A. \(\left( {y – z} \right)\left( {x – y} \right)\left( {z – x} \right)\left( {z – x – y} \right)\)

B. \(\left( {y – z} \right)\left( {x – y} \right)\left( {z – x} \right)\left( {z + x + y} \right)\)

C. \(\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x – y – z} \right)\)

D. \(\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z – x – y} \right)\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: B

Phương pháp giải:

Giữ hạng tử đầu, khai triển hai hạng tử sau và sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} – 3{A^2}B + 3A{B^2} – {B^3} = {\left( {A – B} \right)^3}\) để xuất hiện nhân tử \(y – z\).

Tiếp tục biến đổi liên tiếp, ghép hợp lý tạo các nhân tử \(x – y\,\,;z – x;\,\,x + y + z\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = x{\left( {y – z} \right)^3} + y{\left( {z – x} \right)^3} + z{\left( {x – y} \right)^3}\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y – z} \right)^3} + y\left( {{z^3} – 3{z^2}x + 3z{x^2} – {x^3}} \right) + z\left( {{x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3}} \right)\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y – z} \right)^3} + {z^3}y – 3{z^2}xy + 3z{x^2}y – {x^3}y + {x^3}z – 3{x^2}yz + 3x{y^2}z – {y^3}z\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y – z} \right)^3} – \left( {{y^3}z – {z^3}y} \right) – \left( {{x^3}y – {x^3}z} \right) + \left( {3x{y^2}z – 3{z^2}xy} \right)\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y – z} \right)^3} – yz\left( {{y^2} – {z^2}} \right) – {x^3}\left( {y – z} \right) + 3xyz\left( {y – z} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y – z} \right)\left[ {x{{\left( {y – z} \right)}^2} – yz\left( {y + z} \right) – {x^3} + 3xyz} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y – z} \right)\left( {x{y^2} – 2yzx + {z^2}x – {y^2}z – y{z^2} – {x^3} + 3xyz} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y – z} \right)\left( { – {x^3} + x{y^2} + {z^2}x – y{z^2} + xyz – {y^2}z} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y – z} \right)\left[ { – x\left( {{x^2} – {y^2}} \right) + {z^2}\left( {x – y} \right) + yz\left( {x – y} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y – z} \right)\left( {x – y} \right)\left[ { – x\left( {x + y} \right) + {z^2} + yz} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y – z} \right)\left( {x – y} \right)\left( {{z^2} – {x^2} + yz – xy} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y – z} \right)\left( {x – y} \right)\left( {z – x} \right)\left( {z + x + y} \right).\end{array}\)

Chọn B.