by Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A – 9\sqrt x \)
A \( – 1\)
B \( – 3\)
C \( – 5\)
D \(1\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 1.\)
\(P = A – 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x }} – 9\sqrt x = 1 – \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right).\)
Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{1}{{\sqrt x }};\,\,\,9\sqrt x \) ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6 \Leftrightarrow 1 – \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 – 6 = – 5\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow 9x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \( – 5\) khi \(x = \frac{1}{9}.\)
Chọn C.
