by Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{1 – a\sqrt a }}{{1 – \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {\frac{{1 + a\sqrt a }}{{1 + \sqrt a }} – \sqrt a } \right)\) .Tính \(a\) để \(P < 7 – 4\sqrt 3 \)
A \(a \in \left( {\sqrt 3 – 1;3 – \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}\).
B \(a \in \left( {\sqrt 2 – 1;3 – \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}\).
C \(a \in \left( {\sqrt 3 – 1;3 – \sqrt 7 } \right)/\left\{ 1 \right\}\).
D \(a \in \left( {\sqrt 3 – 1;7 – \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}\).
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
+) Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P
+) Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức rồi rút gọn P.
+) Bước 3: Cho \(P < 7 – 4\sqrt 3 \) ( P đã rút gọn ở trên). Từ đó tìm giá trị của a thỏa mãn yêu cầu.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\1 – \sqrt a \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ge 0,a \ne 1\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{1 – a\sqrt a }}{{1 – \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {\frac{{1 + a\sqrt a }}{{1 + \sqrt a }} – \sqrt a } \right)\\P = \left( {\frac{{\left( {1 – \sqrt a } \right).\left( {1 + \sqrt a + a} \right)}}{{1 – \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {\frac{{\left( {1 + \sqrt a } \right).\left( {1 – \sqrt a + a} \right)}}{{1 + \sqrt a }} – \sqrt a } \right)\\P = \left( {1 + \sqrt a + a + \sqrt a } \right).\left( {1 – \sqrt a + a – \sqrt a } \right) = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2}.{\left( {1 – \sqrt a } \right)^2} = {\left( {1 – a} \right)^2}\\P < 7 – 4\sqrt 3 \Leftrightarrow P < {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {1 – a} \right)^2} < {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^2} \Leftrightarrow \left| {1 – a} \right| < \left| {2 – \sqrt 3 } \right| \Leftrightarrow \left| {a – 1} \right| < 2 – \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow – 2 + \sqrt 3 < 1 – a < 2 – \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 3 – 1 < a < 3 – \sqrt 3 \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta được \(a \in \left( {\sqrt 3 – 1;3 – \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}\) .
Vậy \(a \in \left( {\sqrt 3 – 1;3 – \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}\).
