by Cho \(A = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} – 1}} – \frac{1}{{\sqrt x – 1}}} \right):\left( {1 – \frac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\).
a) Rút gọn A. b) Tìm \(x \in Z\) để \(A \in Z\)
A \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;4;16} \right\}
\end{array}\)
B \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\}
\end{array}\)
C \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x }}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\}
\end{array}\)
D \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x }}\\
b)\,\,x \in \left\{ {4;16;36} \right\}
\end{array}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Phương pháp giải:
a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng phần thức và rút gọn.
b) Đưa biểu thức về dạng \(A\left( x \right) + \frac{C}{{B\left( x \right)}}\) với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì \(B\left( x \right) \in U\left( C \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) TXĐ: \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} – 1}} – \frac{1}{{\sqrt x – 1}}} \right):\left( {1 – \frac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} – \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} – \frac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \frac{{2x + 1 – x – \sqrt x – 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\;.\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1 – x – 4}}\\\,\,\,\, = \frac{{x – \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}\end{array}\)
b) \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}} = \frac{{\sqrt x – 3 + 3}}{{\sqrt x – 3}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x – 3}}\)
Để \(A \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x – 3}} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x – 3\; \in U\left( 3 \right)\)
Mà \(\;U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\).
TH1: \(\;\sqrt x – 3 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\,\,\left( {tm} \right)\)
TH2: \(\;\sqrt x – 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 6 \Leftrightarrow x = 36\,\,\left( {tm} \right)\)
TH3: \(\;\sqrt x – 3 = – 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\)
TH4: \(\;\sqrt x – 3 = – 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy để \(A \in Z\) thì \(x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\}\).
