Tháng Năm 22, 2022

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.

Cho (C) là đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$. Tìm các điểm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
A. (1;1)
B. $\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right);\left( {2 – \sqrt 3 ;1 – \sqrt 3 } \right)$
C. $\left( {1 – \sqrt 3 ;\frac{{5 – 3\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {1 + \sqrt 3 ;\frac{{5 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)$
D. $\left( {1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)$
Hướng dẫn
Hàm số: $y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$
Đồ thị hàm số có TCN đường thẳng y=1, TCĐ là đường thẳng x=2.
Gọi điểm $C\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)$
Theo bài ra ta có khoảng cách từ C đến 2 đường tiệm cận là
$\begin{array}{l} d = \left| {{x_0} – 2} \right| + \left| {{y_0} – 1} \right| = \left| {{x_0} – 2} \right| + \left| {\frac{{x + 1}}{{x – 2}} – 2} \right|\\ = \left| {{x_0} – 2} \right| + \left| {\frac{3}{{{x_0} – 2}}} \right| \ge 2\sqrt 3 \end{array}$
Dấu “=” xảy ra khi $\left| {{x_0} – 2} \right| = \left| {\frac{3}{{{x_0} – 2}}} \right| \Rightarrow {\left( {{x_0} – 2} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2 + \sqrt 3 \\ {x_0} = 2 – \sqrt 3 \end{array} \right.$
Vậy chọn B.