Tam giác $ ABC$ có ba đường trung tuyến $ {{m}_{a}},\text{ }{{m}_{b}},\text{ }{{m}_{c}}$ thỏa mãn $ 5m_{a}^{2}=m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$ . Khi đó tam giác này là tam giác gì?

Tam giác $ ABC$ có ba đường trung tuyến $ {{m}_{a}},\text{ }{{m}_{b}},\text{ }{{m}_{c}}$ thỏa mãn $ 5m_{a}^{2}=m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$ . Khi đó tam giác này là tam giác gì?

A. Tam giác cân.

B. Tam giác đều.

C. Tam giác vuông.

D. Tam giác vuông cân.

Hướng dẫn

Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}

m_{a}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4} \\

m_{b}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4} \\

m_{c}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4}

\end{array} \right. $ Mà: $ 5m_{a}^{2}=m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$

$ \Rightarrow 5\left( \frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4} \right)=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4}$

$ \Leftrightarrow 10{{b}^{2}}+10{{c}^{2}}-5{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{c}^{2}}-{{b}^{2}}+2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}$

$ \Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow $ tam giác $ \Delta ABC$ vuông. Chọn đáp án C.