by Tam giác $ ABC$ có $ AB=c,\text{ }BC=a,\text{ }CA=b$ . Các cạnh $ a,\text{ }b,\text{ }c$ liên hệ với nhau bởi đẳng thức $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5{{c}^{2}}$ . Góc giữa hai trung tuyến $ AM$ và $ BN$ là góc nào?
A. $ {{30}^{0}}. $
B. $ {{45}^{0}}. $
C. $ {{60}^{0}}. $
D. $ {{90}^{0}}. $
Hướng dẫn
Gọi $ G$ là trọng tâm tam giác $ \Delta ABC. $
Ta có: $ A{{M}^{2}}=\frac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}$
$ \Rightarrow A{{G}^{2}}=\frac{4}{9}A{{M}^{2}}=\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}$
$ B{{N}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4}$
$ \Rightarrow G{{N}^{2}}=\frac{1}{9}B{{N}^{2}}=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}$
Trong tam giác $ \Delta AGN$ ta có:
$\cos \widehat{AGN}=\frac{A{{G}^{2}}+G{{N}^{2}}-A{{N}^{2}}}{2. AG. GN}=\frac{\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}-\frac{{{b}^{2}}}{4}}{2. \sqrt{\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}}. \sqrt{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}}}$
$=\frac{\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}-\frac{{{b}^{2}}}{4}}{2. \sqrt{\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}}. \sqrt{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}}}$
$ =\frac{10{{c}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{36. 2. \sqrt{\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}}. \sqrt{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}}}=0$ $ \Rightarrow \widehat{AGN}={{90}^{0}}. $
