Tháng Ba 28, 2024

Rút gọn biểu thức \(P.\) A \(P = \sqrt {x + 1} \) B \(P = \sqrt {x – 1} \) C \(P = 2\sqrt x + 1\) D \(P = 2\sqrt x – 1\)

Rút gọn biểu thức \(P.\)

A \(P = \sqrt {x + 1} \)

B \(P = \sqrt {x – 1} \)

C \(P = 2\sqrt x + 1\)

D \(P = 2\sqrt x – 1\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: A

Phương pháp giải:

Biến đổi các biểu thức dựa vào các hằng đẳng nhớ sau đó rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Với \(x > 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{2}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + \left( {x – 1} \right)\sqrt {x – 1} }}.\frac{{\frac{{2x}}{{\sqrt {x – 1} }} – \sqrt {x + 1} }}{{\frac{1}{{\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}}}\\ = \frac{2}{{\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} + \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^3}} }}.\frac{{2x – \sqrt {x + 1} .\sqrt {x – 1} }}{{\sqrt {x – 1} }}.\frac{{\sqrt {x – 1} .\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} – \sqrt {x – 1} }}\\ = \frac{2}{{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x – 1} } \right)\left( {x + 1 – \sqrt {x + 1} .\sqrt {x – 1} + x – 1} \right)}}.\frac{{\left( {2x – \sqrt {x + 1} .\sqrt {x – 1} } \right).\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} – \sqrt {x – 1} }}\\ = \frac{2}{{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x – 1} } \right)\left( {2x – \sqrt {x + 1} .\sqrt {x – 1} } \right)}}.\frac{{\left( {2x – \sqrt {x + 1} .\sqrt {x – 1} } \right).\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} – \sqrt {x – 1} }}\\ = \frac{{2\sqrt {x + 1} }}{{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x – 1} } \right).\left( {\sqrt {x + 1} – \sqrt {x – 1} } \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt {x + 1} }}{{x + 1 – \left( {x – 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt {x + 1} }}{2}\\ = \sqrt {x + 1} .\end{array}\)

Chọn A.