by Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x – 4} } + \sqrt {x – 2\sqrt {2x – 4} } \) với \(x \ge 2\) ta được:
A \(A = 2\sqrt 2 \) hoặc \(A = 2\sqrt {x – 2} \)
B \(A = 2\sqrt 2 \)
C \(A = 2\sqrt {x – 2} \)
D A, B, C đều sai
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ – A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({\left( {A \pm B} \right)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ge 2\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x – 4} } + \sqrt {x – 2\sqrt {2x – 4} } \\ = \sqrt {x + 2\sqrt {2\left( {x – 2} \right)} } + \sqrt {x – 2\sqrt {2\left( {x – 2} \right)} } \\ = \sqrt {x – 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x – 2} + 2} + \sqrt {x – 2 – 2\sqrt 2 .\sqrt {x – 2} + 2} \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 2} + \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 2} – \sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt {x – 2} + \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt {x – 2} – \sqrt 2 } \right|\\ = \sqrt {x – 2} + \sqrt 2 + \left| {\sqrt {x – 2} – \sqrt 2 } \right|\,\,\,\end{array}\)
+) Với \(\sqrt {x – 2} – \sqrt 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 2} \ge \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow x – 2 \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 4\) ta có: \(\left| {\sqrt {x – 2} – \sqrt 2 } \right| = \sqrt {x – 2} – \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow A = \sqrt {x – 2} + \sqrt 2 + \sqrt {x – 2} – \sqrt 2 \) \( = 2\sqrt {x – 2} .\)
+) Với \(\sqrt {x – 2} – \sqrt 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 2} < \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow x – 2 < 2 \Leftrightarrow x < 4\) ta có: \(\left| {\sqrt {x – 2} – \sqrt 2 } \right| = \sqrt 2 – \sqrt {x – 2} \)
\( \Rightarrow A = \sqrt {x – 2} + \sqrt 2 + \sqrt 2 – \sqrt {x – 2} = 2\sqrt 2 .\)
Vậy \(A = \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x – 2} \,\,\,khi\,\,\,x \ge 4\\2\sqrt 2 \,\,\,khi\,\,\,2 \le x < 4\end{array} \right..\)
Chọn A.
