by \(Q = \frac{{\sqrt a }}{{a – 9}}\)
A \(\min A = 10\)
B \(\min A = 11\)
C \(\min A = 12\)
D \(\min A = 13\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
Tính \(A,\) đưa kết quả về dạng sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ triệt tiêu hết \(a.\)
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(a > 9.\)
\(A = P.Q = \frac{{a – 9}}{{\sqrt a – 3}}.\frac{a}{{a – 9}} = \frac{a}{{\sqrt a – 3}} = \sqrt a + 3 + \frac{9}{{\sqrt a – 3}} = \left( {\sqrt a – 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a – 3}} + 6\)
Vì \(a > 9 \Rightarrow \sqrt a – 3 > 0 \Rightarrow \frac{9}{{\sqrt a – 3}} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\left( {\sqrt a – 3} \right)\) và \(\frac{9}{{\sqrt a – 3}}\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {\sqrt a – 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a – 3}} \ge 2.\sqrt {\left( {\sqrt a – 3} \right).\frac{9}{{\sqrt a – 3}}} = 6\\ \Rightarrow A = \left( {\sqrt a – 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a – 3}} + 6 \ge 12.\end{array}\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt a – 3 = \frac{9}{{\sqrt a – 3}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a – 3} \right)^2} = 9\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt a – 3 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt a – 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt a = 6 \Leftrightarrow a = 36\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(\min A = 12\) đạt được khi \(a = 36\).
Chọn C.
