Tháng Ba 29, 2024

Phân tích đa thức thành nhân tử \({\left( {a – b} \right)^3} + {\left( {b – c} \right)^3} + {\left( {c – a} \right)^3}\).

Phân tích đa thức thành nhân tử \({\left( {a – b} \right)^3} + {\left( {b – c} \right)^3} + {\left( {c – a} \right)^3}\).

A. \(3\left( {a – b} \right)\left( {b – c} \right)\left( {c – a} \right)\)

B. \(3abc\left( {a – b} \right)\left( {b – c} \right)\left( {c – a} \right)\)

C. \(3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)

D. \(6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: A

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} – AB + {B^3}} \right)\) cho hai hạng tử đầu để rút nhân tử chung \(c – a\).

Sau đó thu gọn biểu thức, nhóm thích hợp tạo nhân tử \(a – b;\,\,b – c\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {a – b} \right)^3} + {\left( {b – c} \right)^3} + {\left( {c – a} \right)^3}\\ = \left( {a – b + b – c} \right)\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} – \left( {a – b} \right)\left( {b – c} \right) + {{\left( {b – c} \right)}^2}} \right] + {\left( {c – a} \right)^3}\\ = \left( {a – c} \right)\left( {{a^2} – 2ab + {b^2} – ab + ac + {b^2} – bc + {b^2} – 2bc + {c^2}} \right) + {\left( {c – a} \right)^3}\\ = \left( {a – c} \right)\left( {{a^2} – 3ab + ac – 3bc + 3{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {c – a} \right)^3}\\ = \left( {c – a} \right)\left( { – {a^2} – 3{b^2} – {c^2} + 3ab – ac + 3bc} \right) + {\left( {c – a} \right)^3}\\ = \left( {c – a} \right)\left[ { – {a^2} – 3{b^2} – {c^2} + 3ab – ac + 3bc + {{\left( {c – a} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {c – a} \right)\left( { – {a^2} – 3{b^2} – {c^2} + 3ab – ac + 3bc + {c^2} – 2ac + {a^2}} \right)\\ = \left( {c – a} \right)\left( { – 3{b^2} + 3ab + 3bc – 3ac} \right)\\ = 3\left( {c – a} \right)\left[ {b\left( {a – b} \right) – c\left( {a – b} \right)} \right]\\ = 3\left( {a – b} \right)\left( {b – c} \right)\left( {c – a} \right).\end{array}\)

Chọn A.