Một đoạn mạch AB mắc nối tiếp theo thứ tự gồm R,C, cuộn dây không thuần cảm có độ tự cảm L, điện trở trong r = R (L = CR$^{2}$). Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u = U$_{0}$cosωt (V), với ω thay đổi được. Khi ω = ω$_{1}$ thì điện áp trên RC trễ pha hơn điện áp trên AB một góc α$_{1}$ và có giá trị hiệu dụng U$_{1}$. Khi ω = ω$_{2}$ thì điện áp trên RC trễ pha hơn điện áp trên AB một góc α$_{2}$ và có giá trị hiệu dụng U$_{2}$. Biêt α$_{1}$ + α$_{2 }$=$\frac{\pi }{2}$ và U$_{1 }$= kU$_{2}$. Hệ số công suất khi ω = ω$_{1 }$là.

Một đoạn mạch AB mắc nối tiếp theo thứ tự gồm R,C, cuộn dây không thuần cảm có độ tự cảm L, điện trở trong r = R (L = CR$^{2}$). Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u = U$_{0}$cosωt (V), với ω thay đổi được. Khi ω = ω$_{1}$ thì điện áp trên RC trễ pha hơn điện áp trên AB một góc α$_{1}$ và có giá trị hiệu dụng U$_{1}$. Khi ω = ω$_{2}$ thì điện áp trên RC trễ pha hơn điện áp trên AB một góc α$_{2}$ và có giá trị hiệu dụng U$_{2}$. Biêt α$_{1}$ + α$_{2 }$=$\frac{\pi }{2}$ và U$_{1 }$= kU$_{2}$. Hệ số công suất khi ω = ω$_{1 }$là.

A. $\frac{1}{\sqrt{k+\frac{1}{k}}}$

B. $\frac{2}{\sqrt{k+\frac{1}{k}}}$

C. $\frac{1}{k+\frac{1}{k}}$

D. $\frac{2}{k+\frac{1}{k}}$

Hướng dẫn

Ta có. $tan{{\varphi }_{AM}}=-\frac{{{Z}_{C}}}{R};tan{{\varphi }_{MB}}=\frac{{{Z}_{L}}}{r}$ ${{u}_{AM}}$ vuông pha với ${{u}_{MB}}$ v
ới mọi tần số w. nên $tan{{\varphi }_{AM}}. tan{{\varphi }_{MB}}=-1\Leftrightarrow -\frac{{{Z}_{C}}}{R}. \frac{{{Z}_{L}}}{r}=-1\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{Z}_{L}}{{Z}_{C}}\left( R=r \right)$
Vẽ giãn đồ vec tơ như hình vẽ.
Ta luôn có U$_{R}$ = U$_{r}$ $\frac{{{U}_{C}}}{{{U}_{r}}}=\frac{{{U}_{R}}}{{{U}_{L}}}\Rightarrow $
Hai tam giác vuông EAM và FBM đồng dạng $\frac{{{U}_{R}}}{{{U}_{L}}}$ = $\frac{{{U}_{C}}}{{{U}_{R}}}$ = $\frac{{{U}_{AM}}}{{{U}_{MB}}}$
${{U}_{AM}}={{U}_{AB}}cos\alpha =Ucos\alpha $ (*)
(α là góc trễ pha của u$_{AM }$so với u$_{AB}$) ${{U}_{MB}}={{U}_{AB}}sin\alpha =Usin\alpha $(**)
Từ (*) và (**) $\Rightarrow tan\alpha =\frac{{{U}_{MB}}}{{{U}_{AM}}}$
Khi $\omega ={{\omega }_{1}}~$ thì ${{U}_{AM}}={{U}_{1}}=Ucos{{\alpha }_{1}}$
Khi $\omega ={{\omega }_{2}}~$ thì $U{{}_{AM}}={{U}_{2}}=Ucos{{\alpha }_{2}}~=\text{ }Usin{{\alpha }_{1}}$
(do α$_{1}$ + α$_{2}$ =$\frac{\pi }{2}$( Mà ${{U}_{1}}=k{{U}_{2~~~}}$
Suy ra. $tan{{\alpha }_{1}}=\frac{{{U}_{2}}}{{{U}_{1}}}=\frac{1}{k}$$\Rightarrow {{U}_{MB}}={{U}_{AM}}tan{{\alpha }_{1}}=~\frac{1}{k}{{U}_{1}}$
Từ đó suy ra. $\frac{{{U}_{R}}}{{{U}_{L}}}=\frac{{{U}_{C}}}{{{U}_{R}}}=\frac{{{U}_{AM}}}{{{U}_{MB}}}=\frac{{{U}_{1}}}{\frac{1}{k}{{U}_{1}}}=k$
$\Rightarrow {{U}_{L}}=\frac{1}{k}{{U}_{R}}~~\left( 1 \right);~~{{U}_{C}}=k~{{U}_{R}}~(2)$
$U_{AB}^{2}={{U}^{2}}=U_{AM}^{2}+U_{MB}^{2}~=2U_{R}^{2}+U_{L}^{2}+U_{C}^{2}=\left( 2+\frac{1}{{{k}^{2}}}+{{k}^{2}} \right)U_{R}^{2}\Rightarrow U=\frac{\sqrt{{{k}^{4}}+2{{k}^{2}}+1}}{k}{{U}_{R}}$
$\Rightarrow cos{{\varphi }_{1}}=\frac{2{{U}_{R}}}{U}~=~\frac{2k}{{{k}^{2}}+1}=\frac{2}{k+\frac{1}{k}}$