by Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{3}}=2x+y(*)\text{ } \\ {{y}^{3}}=2y+x\text{ (**)} \end{array} \right. $có bao nhiêu nghiệm?
A. $2. $
B. $3. $
C. $4. $
D. $5. $
Hướng dẫn
Nhận xét: Nếu dùng cách giải thông thường trừ (*) cho (**) vế với vế ta được: $(x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-y=0 \\ {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0(***) \end{array} \right. $
Đối với trường hợp (***) nếu kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ thì rất phức tạp. Ta có thể giải theo cách sau: Trừ và cộng (*) và (**) vế với vế ta được: $\left\{ \begin{array}{l} (x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1)=0 \\ (x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3)=0 \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ x+y=0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x+y=0 \\ {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \\ {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \end{array} \right. $
TH1: $\left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ x+y=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=0 \end{array} \right. $
TH2: $\left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y \\ {{x}^{2}}=3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=\sqrt{3} \\ y=\sqrt{3} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\sqrt{3} \\ y=-\sqrt{3} \end{array} \right. \end{array} \right. $
TH3: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=0 \\ {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=-x \\ {{x}^{2}}=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=1 \end{array} \right. \end{array} \right. $
TH4: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \\ {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy=-1 \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy=-1 \\ x+y=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=1 \end{array} \right. \end{array} \right. $
Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm $\left( 0;0 \right),\left( \sqrt{3};\sqrt{3} \right),\left( -\sqrt{3};-\sqrt{3} \right),\left( 1;-1 \right),\left( -1;1 \right). $ Chọn đáp án D.
