by Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 3y=\frac{{{y}^{2}}+2}{{{x}^{2}}} \\ 3x=\frac{{{x}^{2}}+2}{{{y}^{2}}} \end{array} \right. $ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0. $
B. $1. $
C. $2. $
D. $4. $
Hướng dẫn
Điều kiện: $xy\ne 0$ Khi đó, hệ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3{{x}^{2}}y={{y}^{2}}+2(1) \\ 3{{y}^{2}}x={{x}^{2}}+2(2) \end{array} \right. $. Trừ vế hai phương trình ta được: $3{{x}^{2}}y-3x{{y}^{2}}={{y}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow 3xy(x-y)+(x-y)(x+y)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-y=0 \\ 3xy+x+y=0 \end{array} \right. $ TH 1. $x-y=0\Leftrightarrow y=x$ thế vào (1) ta được $3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow x=1$ TH 2. $3xy+x+y=0$. Từ $3y=\frac{{{y}^{2}}+2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow y>0$, $3x=\frac{{{x}^{2}}+2}{{{y}^{2}}}\Rightarrow x>0$ $\Rightarrow 3xy+x+y>0$. Do đó TH 2 không xảy ra. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( 1;1 \right). $ Chọn đáp án B.
