by Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {8 – {x^2}} \) bằng:
A. \(2\sqrt 2 \)
B. \( – 2\sqrt 2 \)
C. \(8\)
D. \(4\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Cách 1:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:
+) Giải phương trình \(y’ = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)
+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = x + \sqrt {8 – {x^2}} \) ta có: TXĐ: \(D = \left[ { – 2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right]\)
\(f’\left( x \right) = 1 – \frac{x}{{\sqrt {8 – {x^2}} }}\) \( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 1 – \frac{x}{{\sqrt {8 – {x^2}} }} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {8 – {x^2}} – x = 0 \Leftrightarrow \sqrt {8 – {x^2}} = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\8 – {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2{x^2} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = – 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ { – 2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { – 2\sqrt 2 } \right) = – 2\sqrt 2 \\f\left( 2 \right) = 4\\f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ { – 2\sqrt 2 ;\,\,\,2\sqrt 2 } \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.\end{array}\)
Chọn D.
