by Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 3}}{{x – 2}}\) trên \(\left[ { – 2;\,\,1} \right].\) Giá trị của \(M + m\) bằng:
A. \( – 5\)
B. \( – \frac{9}{4}\)
C. \( – 6\)
D. \( – \frac{{25}}{4}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Cách 1:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:
+) Giải phương trình \(y’ = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)
+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: \(y = \frac{{{x^2} + x + 3}}{{x – 2}}\) trên \(\left[ { – 2;\,\,1} \right]\) ta có:
\(y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) – {x^2} – x – 3}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\) \( = \frac{{2{x^2} – 3x – 2 – {x^2} – x – 3}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1 \in \left[ { – 2;\,\,1} \right]\\x = 5\,\, \notin \left[ { – 2;\,\,1} \right]\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( { – 2} \right) = – \frac{5}{4}\\y\left( { – 1} \right) = – 1\\y\left( 1 \right) = – 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {Min}\limits_{\left[ { – 2;\,\,1} \right]} y = – 5\\M = \mathop {Max}\limits_{\left[ { – 2;\,\,1} \right]} y = – 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M + m = – 1 – 5 = – 6.\)
Chọn C.
