Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {x – 1} + \sqrt {5 – x} \) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {x – 1} + \sqrt {5 – x} \) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\).

A. \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 3\sqrt 2 \)

B. \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = \sqrt 2 \)

C. \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 \)

D. \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 2\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

– Tìm TXĐ của hàm số.

– Giải phương trình \(f’\left( x \right) = 0\), tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {1;5} \right]\).

– Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),\,\,f\left( 5 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

– Kết luận: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 1 \right);f\left( 5 \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ge 0\\5 – x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow D = \left[ {1;5} \right]\).

Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{2\sqrt {5 – x} }} = \frac{{\sqrt {5 – x} – \sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} .\sqrt {5 – x} }}\).

Cho \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {5 – x} = \sqrt {x – 1} \) \( \Leftrightarrow 5 – x = x – 1\) \( \Leftrightarrow 2x = 6\) \( \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;5} \right]\).

Mặt khác \(f\left( 1 \right) = 2,\,\,f\left( 3 \right) = 2\sqrt 2 ,\,\,f\left( 5 \right) = 2\).

Vậy \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2\sqrt 2 \).

Chọn C.