by Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {x – 3} \right|\sqrt {x + 1} \) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Tính\(M + 2N\).
A. \(\frac{{16\sqrt 3 }}{9}\)
B. \(\frac{{256}}{{27}}\)
C. \(3\)
D. \(\sqrt 5 \)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Tìm TXĐ của hàm số.
– Giải phương trình \(f’\left( x \right) = 0\), tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {0;4} \right]\).
– Tính các giá trị \(f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).
– Kết luận: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\,\,\mathop {min}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định trên \(\left[ {0;4} \right]\).
Ta có: \(f\left( x \right) = \left| {x – 3} \right|\sqrt {x + 1} = \sqrt {\left( {x + 1} \right){{\left( {x – 3} \right)}^2}} \).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x – 3} \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}g’\left( x \right) = {\left( {x – 3} \right)^2} + \left( {x + 1} \right).2\left( {x – 3} \right)\\g’\left( x \right) = \left( {x – 3} \right)\left( {x – 3 + 2x + 2} \right)\\g’\left( x \right) = \left( {x – 3} \right)\left( {3x – 1} \right)\\g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \in \left[ {0;4} \right]\\x = \frac{1}{3} \in \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có: \(g\left( 0 \right) = 9,\,\,g\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{256}}{{27}},\,\,g\left( 3 \right) = 0,\,\,f\left( 4 \right) = 5\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \sqrt {g\left( {\frac{1}{3}} \right)} = \frac{{16\sqrt 3 }}{9}\\N = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \sqrt {g\left( 0 \right)} = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M + 2N = \frac{{16\sqrt 3 }}{9}\).
Chọn A.
