by Giả sử \({{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}\) là hai trong số các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| iz+\sqrt{2}-i \right|=1\) và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2.\) Giá trị lớn nhất của \(\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\) bằng
A. \(3.\)
B. \(2\sqrt{3}.\)
C. \(3\sqrt{2}.\)
D. \(4.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
+) Từ giả thiết \(\left| iz+\sqrt{2}-i \right|=1\), tìm ra đường biểu diễn \(\left( C \right)\) của các số phức z.
+) Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB\Rightarrow \) vị trí của AB đối với đường tròn \(\left( C \right)\)
\(\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=OA+OB\)
+) Sử dụng công thức trung tuyến tính \(O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}\)
+) Sử dụng BĐT Bunhiascopky tìm GTLN của \(OA+OB\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left| iz+\sqrt{2}-i \right|=1\Leftrightarrow \left| i\left( x+yi \right)+\sqrt{2}-i \right|=1\) (với \(z=x+yi\ \left( x;y\in R \right)\))
\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\sqrt{2} \right)}^{2}}=1\Rightarrow M\left( x;y \right)\) biểu diễn \(z\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( 1;\sqrt{2} \right)\) bán kính \(R=1.\)
Giả sử \(A\left( {{z}_{1}} \right);B\left( {{z}_{2}} \right)\) do \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow AB=2=2R\) nên \(AB\) là đường kính của đường tròn \(\left( I;R \right)\)
Lại có: \(\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=OA+OB\)
Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: \(O{{I}^{2}}=\frac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}\Rightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=8.\)
Theo BĐT Bunhiascopky ta có:\(2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)\ge {{\left( OA+OB \right)}^{2}}\Rightarrow OA+OB\le 4.\)
Chọn D.
