Tìm số phức z đồng thời thỏa mãn hai điều kiện \(|z+1-2i|=5\) và \(z.\bar{z}=34\).

A. \(z=3+5i\) hoặc \(z=-\frac{29}{5}+\frac{3}{5}i\)

B. \(z=3-5i\) hoặc \(z=\frac{29}{5}+\frac{3}{5}i\)

C. \(z=5+3i\) hoặc\(z=\frac{3}{5}-\frac{29}{5}i\)

D. \(z=-3+5i\) hoặc \(z=-\frac{29}{5}+\frac{3}{5}i\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\).

Từ giả thiết \(|z+1-2i|=5\) ta có

\(|a + bi + 1 – 2i| = 5 \Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b – 2)^2} = 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2a – 4b = 20\) (1)

Từ giả thiết \(z.\bar{z}=34\) ta có

\((a + bi).(a – bi) = 34 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 34\) (2)

Thay (2) vào (1) có

\(34 + 2a – 4b = 20 \Leftrightarrow 2a – 4b = – 14 \Leftrightarrow a – 2b = – 7 \Leftrightarrow a = 2b – 7\)

Thay vào (2) ta được

\({(2b – 7)^2} + {b^2} = 34 \Leftrightarrow 5{b^2} – 28b + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 5\\b = \frac{3}{5}\end{array} \right.\).

Với \(b=5\) ta có \(a=3\Rightarrow z=3+5i\)

Với \(b=\frac{3}{5}\) ta có \(a=-\frac{29}{5}\Rightarrow z=-\frac{29}{5}+\frac{3}{5}i\)

Chọn A