Số phức \(z=x+yi\) thỏa mãn \(|z-2-4i|=|z-2i|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất là:

Số phức \(z=x+yi\) thỏa mãn \(|z-2-4i|=|z-2i|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất là:

A. \(z=2+2i\)

B. \(z=2-2i\)

C. \(z=1+i\)

D. \(z=1-i\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là \(z=x+yi\left( x,y\in R \right)\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm mối liên hệ \(x,y\).

Tìm GTNN của \(\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Từ điều kiện \(|z-2-4i|=|z-2i|\) ta có

\(|x+yi-2-4i|=|x+yi-2i| \\ \Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}={{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow -4x+4-8y+16=-4y+4\Leftrightarrow -4x-4y+16=0 \\ \Leftrightarrow x+y=4\Leftrightarrow x=4-y\)

Ta có

\(|z|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{(4-y)}^{2}}+{{y}^{2}}} \\=\sqrt{2{{y}^{2}}-8y+16}=\sqrt{2{{(y-2)}^{2}}+8}\ge 2\sqrt{2}\)

Vậy \(\min \left| z \right|=2\sqrt{2}\) khi \(y-2=0\) hay \(y=2\Rightarrow x=2\Rightarrow z=2+2i\).

Chọn A