by Đặt một điện áp $u=U\sqrt{2}\cos \omega t$ vào hai đầu đọan mạch RLC mắc nối tiếp. Khi tần số f = f$_{1}$, f = f$_{1 }$+ 150 Hz, f = f$_{1 }$+ 50 Hz thì hệ số công suất của mạch tương ứng là 1; 0,6 và$\frac{15}{17}$. Tần số để mạch cộng hưởng gần giá trị nào sau đây nhất?
A. 180Hz
B. 150 Hz
C. 120 Hz
D. 100 Hz
Hướng dẫn
Ta có
$cos\varphi =\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^{2}}}}$
Khi ${{f}_{1}}={{f}_{0}}\Rightarrow cos{{\varphi }_{1}}=1\Rightarrow \omega _{0}^{2}=\frac{1}{LC}$(1)
Khi $f={{f}_{2}}\Rightarrow cos{{\varphi }_{2}}=0,6=\frac{R}{{{Z}_{2}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{2}}L-\frac{1}{C{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}}}$
$\Rightarrow 64{{R}^{2}}=36{{\left( {{\omega }_{2}}L\text{ }-\frac{1}{{{\omega }_{2}}C} \right)}^{2}}$(2)
Khi $f={{f}_{3}}\Rightarrow cos{{\varphi }_{3}}=\frac{15}{17}=\frac{R}{{{Z}_{3}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{3}}L-\frac{1}{C{{\omega }_{3}}} \right)}^{2}}}}\Rightarrow 64{{R}^{2}}=15{{\left( {{\omega }_{3}}L-\frac{1}{C{{\omega }_{3}}} \right)}^{2}}$(3)
Từ (2) và (3) $\Rightarrow 2\left( {{\omega }_{2}}L\text{ }-\frac{1}{{{\omega }_{2}}C} \right)=5\left( {{\omega }_{3}}L\text{ }-\frac{1}{C{{\omega }_{3}}} \right)\Leftrightarrow L\left( 2{{\omega }_{2}}-5{{\omega }_{3}} \right)=\frac{1}{C}\left( \frac{2}{{{\omega }_{2}}}-\frac{5}{{{\omega }_{3}}} \right)=\frac{1}{C}\frac{2{{\omega }_{3}}-5{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{2}}. {{\omega }_{3}}}$
$\Rightarrow \left( 2{{\omega }_{2}}-\text{ }5{{\omega }_{3}} \right)=\frac{1}{LC}\frac{2{{\omega }_{3}}-5{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{2}}. {{\omega }_{3}}}={{\omega }_{0}}^{2}. \frac{2{{\omega }_{3}}-5{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{2}}. {{\omega }_{3}}}$
Do $\omega =2\pi f$ nên $2{{f}_{2}}-5{{f}_{3}}=f_{0}^{2}. \frac{2{{f}_{3}}-5{{f}_{2}}}{{{f}_{2}}. {{f}_{3}}}$ (4)
Thay vào (4):
${{f}_{2}}={{f}_{0}}+150\left( Hz \right);{{f}_{3}}={{f}_{0}}+50\left( Hz \right)$
Ta được phương trình
${{f}_{0}}^{2}-125{{f}_{0}}+3750=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{{f}_{0}}=75\left( Hz \right) \\
{{f}_{0}}=50\left( Hz \right)
\end{array} \right. $ gần 100 Hz nhât
