Công thức số phức

Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
\(z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i\)
\(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\)

Nhận xét

Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)
Với mọi \(z,z’\in\mathbb{C}\):
\(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))
=  + ‘
\(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)
\(\left| {z.z’} \right| = \left| z \right|.\left| {z’} \right|\)
\(\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\)

Phép chia hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a – bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad – bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)

(Nhân cả tử và mẫu với \(a – bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý
Với số phức \(z\ne0\) ta có:

Số phức nghịch đảo của \(z\): \({z^{ – 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)
Thương của \(z’\) chia cho \(z\): \(\frac{{z’}}{z} = z’.{z^{ – 1}} = \frac{{z’.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z’.\overline z }}{{z.\overline z }}.\)

Công thức số phức lượng giác

Để viết số phức $z = a + bi,(a,b \in R)$ dưới dạng lượng giác $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi )$, trước hết ta biến đổi: $z = \sqrt {{a^2} + {b^2}} (\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).$
Như vậy: $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}}.$ Đặt $c{\rm{os}}\varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Từ đó suy ra $\varphi $ là $1$ $acgumen$ của $z.$

Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý

$1 + c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ $ = 2{\cos ^2}\frac{\varphi }{2} + 2i\sin \frac{\varphi }{2}c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2}$ $ = 2\cos \frac{\varphi }{2}\left[ {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i \sin \frac{\varphi }{2}} \right].$
$1 + i\tan \varphi = 1 + i\frac{{\sin \varphi }}{{c{\rm{os}}\varphi }}$ $ = \frac{1}{{c{\rm{os}}\varphi }}(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi ).$

Ví dụ áp dụng công thức số phức

Ví dụ 1:
Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Lời giải:
\(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)
\({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i – \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)
\(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} – \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)

Ví dụ 2:
Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right).\)

Lời giải:
Ta có:

\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 – i\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).

Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { – \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

Ví dụ 3:
Tìm số phức \(z\) biết \((2z – i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 – i) = 2 – 2i.\)

Lời giải:
Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a – bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi – 1)(1 + i) + (a – bi + 1)(1 – i) = 2 – 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a – 3b + (a + b – 2)i = 2 – 2i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a – 3b = 2\\ a + b – 2 = – 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ – 1}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

Ví dụ 4:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z – 1 + i} \right|=2.\)

Lời giải:
Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z – 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

Ví dụ 5:
Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 – 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).

Lời giải:
Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 – i}}{{(3 + i)(3 – i)}} = 5 + i + \frac{{3 – i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \frac{{53}}{{10}} – \frac{9}{{10}}i\).

Ví dụ 6:
Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 – i)}}{{1 + 2i}}\).

Lời giải:
Ta có:\(z = \frac{{(1 + i)(2 – i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.\)

Vậy môđun của số phức z là: \(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).

Ví dụ 7:
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 – i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)

Lời giải:
\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 – i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)

\(\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}} = \frac{{10 – 15i}}{5} = 2 – 3i.\)

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)

Ví dụ 8:
Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z – 1).(2 – i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)

Lời giải:
Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)

Khi đó:  \(\frac{{(\overline z – 1).(2 – i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)\(\Leftrightarrow 2(\overline z – 1)(2 – i) = (3 + i)(\overline z + 2i)\)

\(\Leftrightarrow (\overline z – 1)(4 – 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)

\(\Leftrightarrow (1 – 3i)\overline z = 2i + 4\)

\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 – 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ – 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)

\(\Rightarrow z = \frac{{ – 1}}{5} – \frac{7}{5}i\).

Ví dụ 9:
Tính số phức sau: \(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 – i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 – i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)

Lời giải:
Ta có:  \(\frac{{1 + i}}{{1 – i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 – i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = – i.\)

Vậy: \({\left( {\frac{{1 + i}}{{1 – i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 – i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( – i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { – i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.\)

Ví dụ 10: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $5$.
b. $-3$.
c. $7i$.
d. $-2i$.

a. $5 = 5\left( {1 + 0i} \right) = 5\left( {\cos 0 + i\sin 0} \right).$
b. $ – 3 = 3\left( { – 1 + 0i} \right) = 3\left( {{\rm{cos}}\pi {\rm{ + sin}}\pi {\rm{i}}} \right).$
c. $7i = 7\left( {0 + i} \right) = 7\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right).$
d. $ – 2i = 2\left( {0 – i} \right)$ $ = 2\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{2}} \right)} \right).$

Ví dụ 11: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $1 – i\sqrt 3.$
b. $\sqrt 3 – i\sqrt 3 .$
c. $\frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}i.$
d. $\frac{{7\sqrt 3 }}{3} – 7i.$

a. $1 – i\sqrt 3 = 2\left( {\frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = 2\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)} \right].$
b. $\sqrt 3 – i\sqrt 3 = \sqrt 3 \left( {1 – i} \right)$ $ = \sqrt 6 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} – \frac{i}{{\sqrt 2 }}} \right)$ $ = \sqrt 6 \left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right].$
c. $\frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}i = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = \frac{2}{3}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).$
d. $\frac{{7\sqrt 3 }}{3} – 7i = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\left( {1 – i\sqrt 3 } \right)$ $ = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\left( {\frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)} \right].$

Ví dụ 12: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $\left( {1 + 3i} \right)\left( {1 + 2i} \right).$
b. $\left( {1 + i} \right)\left[ {1 + \left( {\sqrt 3 – 2} \right)i} \right].$
c. $\left( {\sqrt 2 – 2i} \right).\left[ {\sqrt 2 + \left( {3\sqrt 2 – 4} \right)i} \right].$

a. $\left( {1 + 3i} \right)\left( {1 + 2i} \right)$ $ = 1 + 6{i^2} + 3i + 2i$ $ = – 5 + 5i = 5\left( { – 1 + i} \right)$
$ = 5\sqrt 2 \left( { – \frac{1}{{\sqrt 2 }} + i\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$ $ = 5\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right).$
b. $\left( {1 + i} \right)\left[ {1 + \left( {\sqrt 3 – 2} \right)i} \right]$ $ = 1 – \left( {\sqrt 3 – 2} \right) + \left( {\sqrt 3 – 2 + 1} \right)i$
$ = 3 – \sqrt 3 + \left( {\sqrt 3 – 1} \right)i$ $ = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 – 1} \right) + \left( {\sqrt 3 – 1} \right)i$
$ = \left( {\sqrt 3 – 1} \right)\left( {\sqrt 3 + i} \right)$ $ = 2\left( {\sqrt 3 – 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$ $ = 2\left( {\sqrt 3 – 2} \right)\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right).$
c. $\left( {\sqrt 2 – 2i} \right).\left[ {\sqrt 2 + \left( {3\sqrt 2 – 4} \right)i} \right]$ $ = \left( {2 + 6\sqrt 2 – 8} \right) + \left( {6 – 4\sqrt 2 – 2\sqrt 2 } \right)i$
$ = \left( {6\sqrt 2 – 6} \right) + \left( {6 – 6\sqrt 2 } \right)i$ $ = \left( {6\sqrt 2 – 6} \right)\left( {1 – i} \right)$
$ = \sqrt 2 \left( {6\sqrt 2 – 6} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} – \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right)$ $ = \left( {12 – 6\sqrt 2 } \right)\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right].$

Ví dụ 13: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $\frac{1}{{2 + 2i}}.$
b. $\frac{{3 – i}}{{1 – 2i}}.$
c. $\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}.$

a. Ta có:
$\frac{1}{{2 + 2i}} = \frac{1}{{2\left( {1 + i} \right)}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{{4\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right].$
b. $\frac{{3 – i}}{{1 – 2i}} = \frac{{\left( {3 – i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 – 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}$ $ = \frac{{3 + 2 + 6i – i}}{{1 – {{\left( {2i} \right)}^2}}} = \frac{{5 + 5i}}{{1 + 4}}$ $ = 1 + i$
$ = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right)$ $ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$
c. $\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}$ $ = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]$ $ = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right)} \right].$

Ví dụ 14: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $1 + \frac{i}{{\sqrt 3 }}.$
b. $1 + \sqrt 3 + \left( {1 – \sqrt 3 } \right)i.$

a. Ta có:
$1 + \frac{i}{{\sqrt 3 }} = 1 + i\tan \frac{\pi }{6}$ $ = 1 + i\frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{6}}}$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{6}}}\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right)$ $ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right).$
b. $1 + \sqrt 3 + \left( {1 – \sqrt 3 } \right)i$ $ = 1 + \tan \frac{\pi }{3} + \left( {1 – \tan \frac{\pi }{3}} \right)i$ $ = 1 + \frac{{\sin \frac{\pi }{3}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} + \left( {1 – \frac{{\sin \frac{\pi }{3}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}}} \right)i$
$ = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}} \right)$ $ + \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)i$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}} \right)$ $ – \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\sin \frac{\pi }{3} – \cos \frac{\pi }{3}} \right)i$
$ = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)$ $ – \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right).i$
$ = 2\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{{12}} – i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right)$ $ = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right].$
Cách khác:
$1 + \sqrt 3 + \left( {1 – \sqrt 3 } \right)i$ $ = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \frac{{1 – \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }}i} \right)$ $ = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \frac{{\tan \frac{\pi }{4} – \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan \frac{\pi }{3}}}i} \right)$
$ = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {1 + i\tan \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}} \right)} \right]$ $ = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {1 + i\tan \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right]$
$ = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {1 + i\frac{{\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)}}{{\cos \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)}}} \right]$ $ = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{\cos \frac{\pi }{{12}}}}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right].$
Mà $\cos \frac{\pi }{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \cos \frac{\pi }{3}.\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}.\sin \frac{\pi }{4}$ $ = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}.$
Do đó: $1 + \sqrt 3 + \left( {1 – \sqrt 3 } \right).i$ $ = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{\cos \frac{\pi }{{12}}}}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right]$ $ = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right].$

Author: admin