Tháng Năm 31, 2023

Chứng minh \(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 6} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} + 2018\) là một số nguyên.

Chứng minh \(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 6} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} + 2018\) là một số nguyên.

Phương pháp giải:

Rút gọn \(A\), sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {2\sqrt 5 + 6} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} + 2018\\A = \sqrt {{1^2} + 2.\sqrt 5 .1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} + 2018\\A = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^2}} – \left| {\sqrt 5 – 1} \right| + 2018\\A = \left| {1 + \sqrt 5 } \right| – \left| {\sqrt 5 – 1} \right| + 2018\\A = 1 + \sqrt 5 – \sqrt 5 + 1 + 2018\,\,\left( {Do\,\,1 + \sqrt 5 > 0;\,\,\sqrt 5 – 1 > 0} \right)\\A = 2020\,\\ \Rightarrow A \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vậy \(A\) là một số nguyên.