Tháng Ba 29, 2024

Cho \(x;y;z\ne 0\) thỏa mãn \(\frac{x-y-z}{x}=\frac{y-z-x}{y}=\frac{z-x-y}{z}\). Tính giá trị biểu thức:\(S=\left( 1+\frac{y}{x} \right)\left( 1+\frac{z}{y} \right)\left( 1+\frac{x}{z} \right)\).

Cho \(x;y;z\ne 0\) thỏa mãn \(\frac{x-y-z}{x}=\frac{y-z-x}{y}=\frac{z-x-y}{z}\).

Tính giá trị biểu thức:\(S=\left( 1+\frac{y}{x} \right)\left( 1+\frac{z}{y} \right)\left( 1+\frac{x}{z} \right)\).

Phương pháp giải:

Phương pháp:

– Biến đổi các biểu thức hữu tỉ

– Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn giản hơn

– Thực hiện tính toán

Lời giải chi tiết:

Cách giải: Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{x – y – z}}{x} = \frac{{y – z – x}}{y} = \frac{{z – x – y}}{z}\\ \Rightarrow 1 – \frac{{y + z}}{x} = 1 – \frac{{z + x}}{y} = 1 – \frac{{x + y}}{z}\\ \Rightarrow – \frac{{y + z}}{x} = – \frac{{z + x}}{y} = – \frac{{x + y}}{z}\\ \Rightarrow \frac{{y + z}}{x} = \frac{{z + x}}{y} = \frac{{x + y}}{z} = \frac{{y + z + z + x + x + y}}{{x + y + z}} = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z = 2x\\z + x = 2y\\x + y = 2z\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)\left( {1 + \frac{z}{y}} \right)\left( {1 + \frac{x}{z}} \right) = \left( {\frac{{x + y}}{x}} \right)\left( {\frac{{y + z}}{y}} \right)\left( {\frac{{z + x}}{z}} \right) = \frac{{2z}}{x}.\frac{{2x}}{y}.\frac{{2y}}{z} = 8\end{array}\)

Vậy \(S=8.\)