by Cho \(Q=\left( \frac{{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+27}+\frac{3}{{{x}^{2}}+9} \right):\left( \frac{1}{x-3}-\frac{6x}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x-27} \right)\)
a) Rút gọn \(Q\)
b) Tính giá trị của \(Q\) khi \(\left| x \right|=2\)
c) Tìm các số nguyên tố \(x\) để \(Q\in Z\)
Phương pháp giải:
Phương pháp:
– Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa
– Thu gọn phân thức
– Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên
– Phân biệt được thế nào là số nguyên tố để loại nghiệm
Lời giải chi tiết:
Cách giải:
a) \(Q=\left( \frac{{{x}^{3}}+3x}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+27}+\frac{3}{{{x}^{2}}+9} \right):\left( \frac{1}{x-3}-\frac{6x}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x-27} \right)\) (ĐK: \(x\ne \pm 3\))
\(\begin{align} & Q=\left( \frac{{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+27}+\frac{3}{{{x}^{2}}+9} \right):\left( \frac{1}{x-3}-\frac{6x}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x-27} \right) \\& =\left( \frac{{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{2}}(x+3)+9(x+3)}+\frac{3}{{{x}^{2}}+9} \right):\left( \frac{1}{x-3}-\frac{6x}{{{x}^{2}}(x-3)+9(x-3)} \right) \\ & =\frac{{{x}^{2}}+3x+3x+9}{\left( {{x}^{2}}+9 \right)\left( x+3 \right)}:\frac{{{x}^{2}}+9-6x}{\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+9 \right)} \\& =\frac{{{(x+3)}^{2}}}{({{x}^{2}}+9)(x+3)}.\frac{(x-3)({{x}^{2}}+9)}{{{(x-3)}^{2}}} \\ & =\frac{x+3}{x-3}. \\\end{align}\)
b) Ta có Q = \(\frac{x+3}{x-3}\),\(|x|=2\Leftrightarrow x=\pm 2\)
Với \(x=2\Rightarrow Q=\frac{2+3}{2-3}=-5\)
Với \(x=-2\Rightarrow Q=\frac{-2+3}{-2-3}=\frac{-1}{5}\)
c) \(Q=\frac{x+3}{x-3}=\frac{x-3+6}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}\)
\(Q\in Z\Leftrightarrow 1+\frac{6}{x-3}\in Z\Leftrightarrow \frac{6}{x-3}\in Z\Leftrightarrow x-3\in U(6)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6 \right\}\)
Bảng giá trị:
Nhận thấy trong các giá trị \(x\) tìm được, chỉ có \(2\) và \(5\) là số nguyên tố.
Vậy các giá trị \(x\) cần tìm là \(x=2\) và \(x=5.\)
