by Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{x}{{x + 3}} – \frac{2}{{x – 3}} – \frac{{{x^2} – 1}}{{9 – x{}^2}}} \right):\left[ {2 – \frac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right]\)
a) Rút gọn \(P\)
b) Tìm \(P\) biết \(|x| = 1\)
Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên
Phương pháp giải:
+) Điều kiện để phân thức có nghĩa khi và chỉ khi mẫu thức khác 0.
+) Thu gọn phân thức đại số.
+) Tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước.
+) Điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên
Lời giải chi tiết:
a) \(P = \left( {\frac{x}{{x + 3}} – \frac{2}{{x – 3}} – \frac{{{x^2} – 1}}{{9 – x{}^2}}} \right):\left[ {2 – \frac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right]\)
ĐK: \(x \ne 3;x \ne – 3\).
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{x}{{x + 3}} – \frac{2}{{x – 3}} – \frac{{{x^2} – 1}}{{9 – x{}^2}}} \right):\left[ {2 – \frac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right]\\\,\,\,\, = \left( {\frac{x}{{x + 3}} – \frac{2}{{x – 3}} + \frac{{{x^2} – 1}}{{(x – 3)(x + 3)}}} \right):\left( {\frac{{2x + 6 – x – 5}}{{x + 3}}} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{x(x – 3) – 2(x + 3) + {x^2} – 1}}{{(x + 3)(x – 3)}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\\\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} – 5x – 7}}{{(x + 3)(x – 3)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} + 2x – 7x – 7}}{{(x + 3)(x – 3)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{(2x – 7)(x + 1)}}{{(x + 3)(x – 3)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{2x – 7}}{{x – 3}}.\end{array}\)
b) Tìm P biết |x| = 1.
\(|x| = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\,\,(tmdk)\)
Với \(x = 1 \Rightarrow P = \frac{{2.1 – 7}}{{1 – 3}} = \frac{5}{2}.\)
Với \(x = – 1 \Rightarrow P = \frac{{2.( – 1) – 7}}{{ – 1 – 3}} = \frac{9}{4}.\)
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Ta có \(P = \frac{{2x – 7}}{{x – 3}} = \frac{{2(x – 3) – 1}}{{x – 3}} = 2 – \frac{1}{{x – 3}}\)
\(P \in Z \Leftrightarrow 2 – \frac{1}{{x – 3}} \in Z \Leftrightarrow \frac{1}{{x – 3}} \in Z \Leftrightarrow x – 3 \in U(1) = {\rm{\{ }} – 1;1\} .\).
Bảng giá trị:
Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 4\) thì P nhận giá trị nguyên.
