Tháng Sáu 9, 2023

Cho tam giác nhọn \(ABC\), các đường cao \(BD, CE\). Gọi \(H, K\) thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(B\) và \(C\) đến đường thẳng \(DE\). Chứng minh rằng \(HE = DK\).

Cho tam giác nhọn \(ABC\), các đường cao \(BD, CE\). Gọi \(H, K\) thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(B\) và \(C\) đến đường thẳng \(DE\). Chứng minh rằng \(HE = DK\).

Phương pháp giải:

+ Gọi M là trung điểm của BC, ta chứng minh được tam giác MDE cân tại M từ đó suy ra ID = IE

+ Chứng minh BH, MI, CK là ba đường song song cách đều nên IH = IK

+ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Vì BD, CE là các đường cao của tam giác ABC nên \(BD \bot AC,CE \bot AB\) do đó tam giác BDC vuông tại D, tam giác CEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC, vẽ DM, EM thì DM, EM là các trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác BDC và tam giác CEB.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên, ta được

\(DM = \frac{1}{2}BC,EM = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra DM = EM, suy ra tam giác MDE cân tại M.

Xét tứ giác BHKC có: \(BH \bot DE,KC \bot DE,\widehat {BHK} = {90^0}\) nên tứ giác BHKC là hình thang vuông.

Vẽ thêm \(MI \bot DE\) thì BH // MI // KC(vì cùng vuông góc với DE) (1)

Mà BM = MC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK (3)

Áp dụng tính chất về đường cao ứng với cạnh đáy vào tam giác cân MDE ta được EI = ID (4)

Trừ theo vế đẳng thức (3) cho (4), ta được EH = DK.(đpcm)