by Cho hình bình hành \(ABCD\) và đường thẳng \(d\) không có điểm nào chung với hình bình hành. Gọi \(AE, BF, CG, DH\) là các đường vuông góc kẻ từ \(A, B, C, D\) đến đường thẳng \(d\). Chứng minh rằng \(AE + CG = BF + DH\).
Phương pháp giải:
+ Vẽ \(OI \bot d\) ta chứng minh \(OI, AE, CG\) là ba đường thẳng song song cách đều để suy ra \(EI = IG\); \(OI, BF, DH\) là ba đường sog song cách đều để suy ra \(FI = IH\).
+ Chứng minh \(OI\) là đường trung bình của hai hình thang \(AEGC\) và \(BFHD\)
+ Áp dụng định lý đường trung bình của hình thang để suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Do \(AE, BF, CG, DH\) cùng vuông góc với d suy ra \(AE // BF // CG//DH\). Nên \(AEGC\) và \(BFHD\) là hai hình thang vuông.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành \(ABCD\), ta được:
\(AO = OC\) (1), \(BO = OD\) (2)
Vẽ thêm \(OI \bot d\) thì \(OI // AE // CG\) (3) và \(OI // BF // DH\) (4) (do cùng vuông góc với d).
Từ (1) và (3) suy ra \(OI, AE, CG\) là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng d hai đoạn liên tiếp bằng nhau là \(EI = IG\) (5)
Từ (2) và (4) suy ra \(OI, BF, DH\) cũng là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng cũng chắn trên đường thẳng d hai đoạn liên tiếp bằng nhau là \(FI = IH\) (6)
Từ (1) với (5) và (2) với (6) ta có \(OI\) là đường trung bình của hai hình vuông \(AEGC\) và \(BFHD\).
Áp dụng định lý đường trung bình vào hai hình thang trên ta được:
\(2OI = AE + CG = BF + DH\)
