by Cho hình vuông \(ABCD.\) Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B.\) Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K.\) Kẻ đường thẳng qua \(D,\) vuông góc với \(DI,\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L.\) Chứng minh rằng :
a) \(\Delta DIL\) là một tam giác cân.
b) Tổng \(\frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{K^2}}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB.\)
Phương pháp giải:
a) Chứng minh \(DI = DL\) dựa vào \(\Delta DAI = \Delta DCL.\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta DLK\) vuông tại \(D,\) đường cao \(DC\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét \(\Delta DAI\) và \(\Delta DCL\) có:
\(DA = DC\) (\(ABCD\) là hình vuông);
\(\angle ADI = \angle CDL\) (cùng phụ với \(\angle CDI\))
\(\angle DAI = \angle DCL = {90^o}\)
\( \Rightarrow \Delta DAI = \Delta DCL\,\,\,\left( {c – g – c} \right) \Rightarrow DI = DL\) (2 cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \Delta DIL\) là tam giác cân tại \(D.\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta DLK\) vuông tại \(D,\) đường cao \(DC\) ta có:
\(\frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{K^2}}} = \frac{1}{{D{L^2}}} + \frac{1}{{D{K^2}}} = \frac{1}{{D{C^2}}}\) không đổi.
