by Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. M và N là hai điểm lưu động lần lượt trên cạnh AB và AD sao cho . Vẽ tia Cx vuông góc với CN, Cx cắt đường thẳng AB tại E.
Chứng minh rằng E là điểm đối xứng của N qua CM Chứng minh rằng đường cao vẽ từ C trong tam giác CMN bằng một hằng số và chu vi của tam giác AMN bằng 2a.
Phương pháp giải:
a) + Đầu tiên ta chứng minh CM là tia phân giác của góc NCE
+ Ta chứng minh ta giác NCE cân tại C, từ đó suy ra CM là tia phân giác đồng thời là trung trực củaNE. Do đó E đối xứng với N qua CM .
b) + Do tính chất đối xứng trục ta suy ra đường cao vẽ từ C trong tam giác CMN bằng CB .
+ Để chứng minh chu vi tam giác AMN bằng 2a ta biến đổi các cạnh của tam giác để xuất hiện các cạnh của hình vuông. Từ đó chứng minh được.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\widehat {MCE} = {45^0}\) hay . Mà \(\widehat {{C_2}} + \widehat {{C_3}} = {45^0}\) (vì \(\widehat {MCN} = {45^0}\)) nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)
Xét tam giác CDN và tam giác CBE có:
BC = DC (do ABCD là hình vuông); \(\widehat D = \widehat B = {90^0}\) ; \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (cmt)
Suy ra \(\Delta CDN = \Delta CBE(g.c.g)\) .Suy ra CN = CE
Xét tam giác CEN có CN = CE (cmt) nên tam giác CEN là tam giác cân tại C .
Vậy E là điểm đối xứng của N qua CM .(đpcm)
Suy ra phân giác CM đồng thời là đường trung trực của NE .
b) Ta có \(\Delta CMN = \Delta CME\) (do tính đối xứng).
Do đó, đường cao vẽ từ C trong tam giác CMN bằng đường cao
CB = a trong tam giác CME .
Ta có: MN = ME (vì \(\Delta CMN = \Delta CME\))
Suy ra chu vi tam giác AMN là:
\(AM + AN + MN = AM + AN{\rm{ }} + ME = AM + AN + MB + BE\)
\( = AM + AN + MB + ND\) (vì \(\Delta CDN = \Delta CBE\) nên BE = ND)
\( = \left( {AM{\rm{ }} + MB} \right) + \left( {AN + ND} \right) = 2a\)
Vậy chu vi tam giác AMN bằng 2a . (đpcm)
