by Cho hình thoi ABCD có góc D bằng \({60^o}\). Gọi E, H, G, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
b) Cho AG cắt HF tại J. Chứng minh rằng \(HF = 4FJ\).
c) Gọi I là trung điểm của FJ và P là giao điểm của EH và DB. Chứng minh IG vuông góc với IP.
d) Cho \(AB = 2cm\). Tính độ dài IP.
Phương pháp giải:
a) Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.
b) Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác và hình thoi để chứng minh.
c) Gọi FG cắt BD tại M ; PG cắt MH tại K. Chứng minh dựa vào định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông.
d) Tính các đoạn cần thiết dựa vào các đẳng thức đã chứng minh ở trên từ đó tính các cạnh của tam giác vuông PIG bằng cách sử dụng định lý Pytago.
Lời giải chi tiết:
Cho hình thoi ABCD có góc D bằng \({60^o}\). Gọi E, H, G, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
Ta có ABCD là hình thoi \( \Rightarrow AC \bot BD\) (tính chất) (1)
Có E, F lần lượt là trung điểm của AB và DA (gt)
\( \Rightarrow \) EF là đường trung bình trong tam giác ABD \( \Rightarrow \)EF // BD (2)
Có F, G lần lượt là trung điểm của AD và CD (gt)
\( \Rightarrow \) FG là đường trung bình trong tam giác DAC \( \Rightarrow \)FG // AC (3)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow EF \bot FG\) (từ vuông góc đến song song)
Tương tự \( \Rightarrow FG \bot GH\,\,;\,\,GH \bot HE\,\,;\,\,HE \bot EF\)
\( \Rightarrow \) EFGH là hình chữ nhật (dhnb)
b) Cho AG cắt HF tại J. Chứng minh rằng \(HF = 4FJ\).
Ta có F, H lần lượt là trung điểm của AD và BC
\( \Rightarrow \) FH là đường trung bình của hình thoi ABCD \( \Rightarrow \)FH // AB // CD và \(FH = AB = CD\)
Xét tam giác ADG có F là trung điểm của AD, FJ // DG (FH // CD)
\( \Rightarrow \)J là trung điểm của AG \( \Rightarrow \) FJ là đường trung bình trong tam giác ADG
\( \Rightarrow FJ = \frac{1}{2}DG = \frac{1}{4}CD = \frac{1}{4}HF\) (do G là trung điểm của CD nên \(DG = \frac{1}{2}CD\))
\( \Rightarrow HF = 4FJ\) (đpcm)
c) Gọi I là trung điểm của FJ và P là giao điểm của EH và DH. Chứng minh IG vuông góc với IP.
Gọi AC cắt BD tại O \( \Rightarrow DO = \frac{1}{2}BD\,\,;\,\,OC = OA = \frac{1}{2}AC\) (tính chất)
Xét tam giác ACD có \(DA = DC\) (ABCD là hình thoi), \(\angle D = {60^o}\) (gt)
\( \Rightarrow \)\(\Delta ACD\) đều (dhnb) \( \Rightarrow AC = CD\,\)\(;\,\,DO = AG\) (tính chất)
\( \Rightarrow AG\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao \( \Rightarrow AG \bot CD \Rightarrow AG \bot HF\) (từ vuông góc đến song song)
Gọi FG cắt BD tại M
Xét tam giác ODA có F là trung điểm của AD, FM // OA (FG // AC)
\( \Rightarrow \)M là trung điểm của OD \( \Rightarrow \) FM là đường trung bình trong tam giác ODA \( \Rightarrow FM = \frac{1}{2}OA\)
Tương tự ta cũng được \(GM = \frac{1}{2}OC\) mà \(OA = OC\) (cmt) \( \Rightarrow FM = GM\)
\( \Rightarrow \) M là trung điểm của FG
\( \Rightarrow \) IM là đường trung bình trong tam giác FJG
\( \Rightarrow \) IM // AG mà \(AG \bot HF\) (cmt) \( \Rightarrow IM \bot HF\)
Gọi PG cắt MH tại K.
Dễ thấy PHGM là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
\( \Rightarrow \) K là trung điểm của PG và HM ; \(HM = PG\)
Có tam giác IMH vuông tại I (\(IM \bot HF\)) có K là trung điểm của HM
\( \Rightarrow \) \(KI = \frac{1}{2}HM = \frac{1}{2}PG\)
\( \Rightarrow \) Tam giác PIG vuông tại I \( \Rightarrow \) \(IG \bot IP\) (đpcm)
d) Cho \(AB = 2cm\). Tính độ dài IP.
Ta có ABCD là hình thoi có HF là đường trung bình và \(\Delta ACD\) đều
\( \Rightarrow AB = BC = CD = DA = AC = HF = 2cm\)
\( \Rightarrow AG = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 cm \Rightarrow GJ = \frac{1}{2}AG = \frac{{\sqrt 3 }}{2}cm\) (J là trung điểm của AG)
\(OC = OA = \frac{1}{2}AC = 1cm\) ; \(FG = EH = \frac{1}{2}AC = 1cm\)
\(OD = AG = \sqrt 3 cm \Rightarrow EF = GH = OD = \frac{1}{2}BD = \sqrt 3 cm\)
\(IJ = \frac{1}{2}FJ = \frac{1}{8}HF = \frac{1}{4}cm\) ; \(PH = MG = \frac{1}{2}FG = \frac{1}{2}cm\)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác GJI vuông tại J ta được:
\(IG = \sqrt {I{J^2} + G{J^2}} = \sqrt {\frac{1}{{16}} + \frac{3}{4}} = \frac{{\sqrt {13} }}{4}\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác HPG vuông tại H ta được:
\(PG = \sqrt {P{H^2} + G{H^2}} = \sqrt {\frac{1}{4} + 3} = \frac{{\sqrt {13} }}{2}\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác PIG vuông tại I ta được:
\(IP = \sqrt {P{G^2} – I{G^2}} = \sqrt {\frac{{13}}{4} – \frac{{13}}{{16}}} = \frac{{\sqrt {39} }}{4}\left( {cm} \right)\)
