by Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A \(\left( {AB < AC} \right)\). Gọi \(M,\,N,K\) thứ tự là trung điểm của \(AB,\,AC\) và \(BC\)
a) Chứng minh \(KN=\frac{1}{2}AB\) và \(ABKN\) là hình thang vuông.
b) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(BN\) , cắt tia \(KN\) tại \(Q\) . Chứng minh \(AKCQ\) là hình thoi.
c) \(MN\) cắt \(BQ\) tại \(O\) , \(AK\) cắt \(BN\) tại \(I\) . Biết \(BC=24\,cm\) . Tính độ dài \(OI\) .
A. \(OI=3cm\)
B. \(OI=2cm\)
C. \(OI=9cm\)
D. \(OI=4cm\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Phương pháp giải:
– Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác, dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi, tính chất hình bình hành, tính chất trung điểm.
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(N,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC\) (gt)
\(\Rightarrow NK\) là đường trung bình của \(\Delta ACB\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & NK=\frac{AB}{2}\left( * \right) \\ & NK//AB \\\end{align} \right.\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Ta có: \(NK//AB\left( cmt \right)\Rightarrow \) tứ giác \(NKBA\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)
Lại có: \(\angle NAB={{90}^{0}}\left( gt \right)\Rightarrow \) hình thang \(NKBA\) là hình thang vuông (dấu hiệu nhận biết hình thang vuông)
b) Ta có: \(AB//NK\left( cmt \right)\Rightarrow QN//MB\) mà \(QM//NB\left( gt \right)\Rightarrow \) tứ giác \(MBNQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
\(\Rightarrow QN=MB=\frac{AB}{2}\left( ** \right)\) (tính chất hình bình hành)
Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( ** \right)\Rightarrow QN=NK\) lại có \(AN=NC\left( gt \right)\Rightarrow AQCK\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Mặt khác, xét \({{\Delta }_{v}}ABC\) có \(AK\) là trung tuyến (gt) suy ra \(AK=\frac{BC}{2}\) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
Mà \(KC=\frac{BC}{2}\left( gt \right)\Rightarrow AK=CK\)
\(\Rightarrow \) hình bình hành \(AQCK\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Gọi \(H\) là giao điểm của \(MQ\) và \(AK\)
Vì \(BNQM\) là hình bình hành (cmt)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & BN//MQ \\ & BO=OQ \\\end{align} \right.\) (tính chất hình bình hành) \(\Rightarrow \angle IBO=\angle OQH\) (so le trong)
Xét \(\Delta OIB\) và \(\Delta OHQ\) có:
\(\angle IBO=\angle OQH\) (cmt)
\(BO=OQ\left( cmt \right)\)
\(\angle BOI=\angle HOQ\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow \Delta OIB=\Delta OHQ\left( g-c-g \right)\Rightarrow OI=OH\) (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta IAB\) có:
\(MH//IB\) (do \(MQ//BN\))
\(M\) là trung điểm của \(AB\left( gt \right)\)
\(\Rightarrow \) \(H\) là trung điểm của \(AI\) (trong tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)
\(\Rightarrow AH=HI\left( 1 \right)\) (tính chất trung điểm của đoạn thẳng)
Vì \(AKCQ\) là hình thoi (cmt) mà \(N\) là trung điểm của \(AC\left( gt \right)\) và \(AC\cap KQ=\left\{ N \right\}\Rightarrow N\) là trung điểm của \(AC\) (tính chất hình thoi)
Xét \(\Delta KCQ\) có:
\(IN//HQ\) (do \(MQ//BN\))
\(N\) là trung điểm của \(KQ\left( cmt \right)\)
\(\Rightarrow I\) là trung điểm của \(HK\) (trong tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)
\(\Rightarrow KI=HI\left( 2 \right)\) (tính chất trung điểm của đoạn thẳng)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow AH=HI=IK=\frac{1}{3}AK\)
Xét \({{\Delta }_{v}}ABC\) có: \(AK=\frac{BC}{2}=12cm\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
\(\Rightarrow AH=HI=IK=\frac{1}{3}AK=\frac{12}{3}=4cm\)
Ta có: \(NK//AB\left( cmt \right)\Rightarrow KQ//AB\left( 3 \right)\)
Do \(AKCQ\) là hình thoi (cmt) và \(N\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(KQ\Rightarrow KN=\frac{1}{2}KQ\) (tính chất hình thoi)
Mà \(KN=\frac{1}{2}AB\left( cmt \right)\Rightarrow KQ=AB\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\Rightarrow ABKQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
\(\Rightarrow O\) là trung điểm của \(AK\) (tính chất hình bình hành)
\(\Rightarrow AO=OK\) (tính chất trung điểm)
Lại có \(\left\{ \begin{align} & OI=OK-KI \\ & OH=OA-AH \\\end{align} \right.\)
Mà \(AH=IK\ \left( cmt \right)\Rightarrow OI=OH=\frac{IH}{2}=\frac{4}{2}=2\ cm\)
Chọn B
