Cho \(ABC\) là tam giác nhọn, có \(AM\) là đường trung tuyến. Trên cạnh \(AC\) lấy hai điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = DE = EC.\) \(AM\) cắt \(BD\) tại \(I.\) a) Chứng minh: tứ giác \(BDEM\) là hình thang. b) Chứng minh: \(I\) là trung điểm của \(AM.\) c) Chứng minh: \(BI{\rm{ }} = {\rm{ }}3DI\) d) Trên tia đối của tia \(CB\) lấy hai điểm \(P\) và \(Q\) sao cho\(CP = PQ = CM\) . Chứng minh: \(ME,\, AP, \,DQ\) đồng quy tại một điểm.

Cho \(ABC\) là tam giác nhọn, có \(AM\) là đường trung tuyến. Trên cạnh \(AC\) lấy hai điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = DE = EC.\) \(AM\) cắt \(BD\) tại \(I.\)

a) Chứng minh: tứ giác \(BDEM\) là hình thang.

b) Chứng minh: \(I\) là trung điểm của \(AM.\)

c) Chứng minh: \(BI{\rm{ }} = {\rm{ }}3DI\)

d) Trên tia đối của tia \(CB\) lấy hai điểm \(P\) và \(Q\) sao cho\(CP = PQ = CM\) . Chứng minh: \(ME,\, AP, \,DQ\) đồng quy tại một điểm.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất đường trung bình, tứ giác có 2 cạnh đối song song là hình thang.

b) Sử dụng tính chất bắc cầu

c) Áp dụng tính chất đường trung bình.

d) Chứng minh có một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó. \(DF \equiv DQ\) hay \(F\) thuộc \(DQ.\)

Lời giải chi tiết:

a) Xét \(\vartriangle CBD\) có \(M\) là trung điểm \(BC,\, E\) là trung điểm \(DC\)

\( \Rightarrow \)ME là đường trung bình của

\( \Rightarrow ME//BD;\,\,\,ME = \frac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BDEM\) là hình thang (tứ giác có 2 cạnh đối song song là hình thang).

b) Ta có: \(ME//BD \Rightarrow ID//ME\)

Mà \(D\) là trung điểm của \(AE\)

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AM\)

c) Ta có: \(ID = \frac{1}{2}ME\) (tính chất đường trung bình) \( \Rightarrow ID = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}BD = \frac{1}{4}BD\left( {ME = \frac{1}{2}BD\left( {cmt} \right)} \right)\)

\(\begin{align}BI=BD-DI=BD-~\frac{1}{2}BD=~\frac{3}{4}BD \\ \Rightarrow BI=3ID \\ \end{align}\)

d) Gọi \(F = ME \cap AP\)

Xét \(\vartriangle AMP\) có \(AC\) là đường trung tuyến,\(AE = \frac{2}{3}AC \Rightarrow E\) là trọng tâm \(\vartriangle AMP\)\( \Rightarrow {\rm{EF}} = \frac{1}{2}ME\)

\(EF//ID{\rm{ }}\left( {do{\rm{ }}ME//ID:{\rm{ }}cmt} \right){\rm{ }};{\rm{ }}ID = EF = \frac{1}{2}ME\)

\( \Rightarrow IDFE\) là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành)

\( \Rightarrow IE//DF{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Ta có: (chứng minh trên); \(BP = \frac{3}{4}BQ\)

\( \Rightarrow IP//DQ\) (định lý Ta-let đảo trong tam giác)

\(IP\) là đường trung tuyến trong \(\vartriangle AMP\Rightarrow IP\equiv IE\Rightarrow IE//DQ\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DF \equiv DQ\) hay \(F \in DQ\)

Vậy \(ME,\, DQ,\, AP\) đồng quy tại \(F.\)