by Cho hình thang vuông \(ABCD\) có hai đáy \(AB = 12\,cm,\,\,DC = 16\,\,cm,\) cạnh xiên \(AD = 8\,cm.\) Tính các góc và cạnh góc vuông của hình thang.
A \(\begin{array}{l}
BC = 3\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {120^0},\,\,\angle D = {60^0}
\end{array}\)
B \(\begin{array}{l}
BC = 4\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {120^0},\,\,\angle D = {60^0}
\end{array}\)
C \(\begin{array}{l}
BC = 3\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {135^0},\,\,\angle D = {45^0}
\end{array}\)
D \(\begin{array}{l}
BC = 4\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {135^0},\,\,\angle D = {45^0}
\end{array}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
Kẻ \(AH \bot CD = \left\{ H \right\},\,\,H \in CD.\)
Sử dụng tính chất hình thang vuông, hình chữ nhật; định lý Pitago và hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tính.
Lời giải chi tiết:
Kẻ \(AH \bot CD = \left\{ H \right\},\,\,H \in CD.\)
Có hình thang vuông \(ABCD\) cạnh xiên \(AD \Rightarrow \angle ABC = \angle BCD = {90^o}.\)
Dễ thấy \(ABCH\) là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \( \Rightarrow HC = AB = 12\,cm\)
\( \Rightarrow HD = DC – HC = 16 – 12 = 4\,\,(cm)\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{D^2} – H{D^2} \Rightarrow AH = \sqrt {A{D^2} – H{D^2}} = \sqrt {{8^2} – {4^2}} = 4\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right).\\ \Rightarrow BC = AH \approx 6,93\,\,cm\end{array}\)
Xét \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\) ta có: \(\cos \angle D = \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle D = {60^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DAH = {90^o} – \angle D = {30^o}\\ \Rightarrow \angle BAD = \angle BAH + \angle DAH = {90^o} + {30^o} = {120^o}.\end{array}\)
