by Cho hình thang cân \(ABCD\,\,\,\left( {AB\parallel CD} \right);\) \(CD = 2AD = 2AB = 8\). Tính diện tích của hình thang đó.
A \(12\sqrt 2 \)
B \(12\sqrt 3 \)
C \(12\)
D \(12\sqrt 6 \)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Phương pháp giải:
– Kẻ \(AH,\,\,BK\) cùng vuông góc với \(CD\) \(\left( {H,\,\,K \in CD} \right)\). Chứng minh \(ABKH\) là hình chữ nhật.
– Tính \(DH,\,\,CK\).
– Áp dụng định lí Pytago tính \(AH\).
– Tính diện tích hình thang: \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\).
Lời giải chi tiết:
Kẻ \(AH,\,\,BK\) cùng vuông góc với \(CD\) \(\left( {H,\,\,K \in CD} \right)\).
Xét tứ giác \(ABKH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel HK\\AH\parallel BK\end{array} \right.\), suy ra \(ABKH\) là hình bình hành.
Lại có \(\angle AHK = {90^0}\) nên \(ABKH\) là hình chữ nhật, do đó \(HK = AB = 4\).
Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta BCK\) có:
\(\angle AHD = \angle BKC = {90^0}\);
\(AD = BC\) (tính chất hình thang cân);
\(\angle ADH = \angle ACK\) (tính chất hình thang cân).
\( \Rightarrow \Delta ADH = \Delta BCK\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow DH = CK\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(DH + CK = CD – HK = 8 – 4 = 4\).
Do đó \(DH = CK = 2\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ADH\) ta có:
\(A{H^2} = A{D^2} – D{H^2}\) \( \Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} – {2^2} = 12\) \( \Leftrightarrow AH = 2\sqrt 3 \).
Vậy diện tích hình thang \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\) \( = \frac{{\left( {4 + 8} \right).2\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3 \).
