by Cho hình thang cân ABCD có AB //CD, O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.
Phương pháp giải:
Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình thang cân:
+ Có 2 góc kề một đáy bằng nhau \(\left( {\angle {\rm{DAB}} = \angle {\rm{ABC}}} \right)\)
+ Có 2 đường chéo bằng nhau \(\left( {AD = BC} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BAC\) ta có:
\(\begin{array}{l}AB\,\,chung\\AD = BC\,\,\,\left( {tc} \right)\\BD = AC\,\,\left( {tc} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD = \Delta BAC\,\,\,\left( {c – c – c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle ADB = \angle ACB\\\angle ABD = \angle BAC\end{array} \right.\) (các cặp góc tương ứng).
Xét \(\Delta AOB\) ta có: \(\angle ABD = \angle BAD\,\,\,\left( {cmt} \right)\) hay \(\angle ABO = \angle BAO\)
\( \Rightarrow \Delta ABO\) cân tại \(O\) (định nghĩa).
\( \Rightarrow AO = OB\) (tính chất).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC = AO + OC\\BD = BO + OD\end{array} \right.\)
Mà \(BD = AC\) (hai đường chéo của hình thang cân)
\( \Rightarrow OD = OC\) (theo tính chất bắc cầu).
