Tháng Ba 3, 2024

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KI là đường trung trực của hai đáy.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KI là đường trung trực của hai đáy.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:

AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

AC= BD (do ABCD là hình thang cân)

CD là cạnh chung

Suy ra \(\Delta ACD=\Delta BDC\)(c.c.c). Suy ra \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\) (hai góc tương ứng).

Xét tam giác ICD có \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)(cmt), suy ra tam giác ICD cân tại I. Do đó ID = IC (1)

Tam giác KCD có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác KCD cân ở K. Do đó KC = KD (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI là đường trung trực của CD (*)

Xét tam giác ADB và tam giác BCA có:

AD = BC (cmt)

AB là cạnh chung

AC = BD

Suy ra \(\Delta ADB=\Delta BCA\)(c.c.c). Suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{BAC}\) .

Xét tam giác IAB có \(\widehat{ABD}=\widehat{BAC}\) nên tam giác IAB cân tại I. Do đó IA = IB (3)

Ta có: KA = KD – AD ; KB = KC – BC . Mà KD = KC, AD = BC, do đó KA = KB (4)

Từ (3) và (4) suy ra KI là đường trung trực của AB. (**)

Từ (*) và (**) suy ra KI là đường trung trực của hai đáy (đpcm)