by Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AD, BC, AC, BD.
a) Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng. b) Giả sử \(AB < CD\). Chứng minh \(PQ = \frac{{DC – AB}}{2}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng định lý 2 đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Áp dụng định lý 2 đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.
Xét hình thang ABCD ta có:
M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC
\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình thang ABCD.
\( \Rightarrow MN//AB//CD\) (tính chất) (1)
Xét \(\Delta ADB\) ta có:
M, Q lần lượt là trung điểm của AD và BD
\( \Rightarrow MQ\) là đường trung bình của \(\Delta ADB\) (định nghĩa).
\( \Rightarrow MQ//AB\) (tính chất) (2)
Xét \(\Delta ABC\) ta có:
N, P lần lượt là trung điểm của BC và AC
\( \Rightarrow NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (định nghĩa)
\( \Rightarrow NP//AB\) (tính chất) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(MN//MQ//NP//AB\)
\( \Rightarrow M,\,\,N,\,\,P,\,\,\,Q\) thẳng hàng. (đpcm)
b) Giả sửa \(AB < CD.\) Chứng minh \(PQ = \frac{{DC – AB}}{2}.\)
Ta có: \(MQ\) là đường trung bình của \(\Delta ADB\)
\( \Rightarrow MQ = \frac{1}{2}AB.\)
\(NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow NP = \frac{1}{2}AB.\)
\( \Rightarrow MQ + NP = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AB = AB.\)
\(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)
\( \Rightarrow MN = \frac{{AB + CD}}{2}.\)
Lại có: \(PQ = MN – \left( {MQ + PN} \right)\)
\( \Rightarrow PQ = \frac{{AB + CD}}{2} – AB = \frac{{CD – AB}}{2}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)
