by Cho hình bình hành \(ABCD\) . Trên đường chéo \(BD\) lấy hai điểm \(E\) và \(F\) sao cho \(BE=DF<\frac{1}{2}BD\) .
a) Chứng minh \(FA=CE\) .
b) Tia \(AE\) cắt \(BC\) tại \(I\) , tia \(CF\) cắt \(AD\) tại \(K\) . Chứng minh rằng ba đường thẳng \(AC,\text{ }BD,\text{ }IK\) đồng quy.
Phương pháp giải:
Phương pháp:
a) Chứng minh tứ giác \(AECF\) là hình bình hành để suy ra.
b) Dự đoán ba đường thẳng đồng quy tại giao điểm của hai đường chéo hình bình hành \(ABCD\).
Lời giải chi tiết:
a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta có \(OA=OC,OB=OD\) .
Mà \(BE=DF(gt)\Rightarrow OE=FO\) .
Tứ giác \(AECF\) có hai đường chéo \(AC\) và \(EF\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) nên \(AECF\) là hình bình hành \(\Rightarrow FA=CE\) .
b) Theo câu a) tứ giác AECF là hình bình hành nên \(EA\parallel CF\Rightarrow AI\parallel CK\) .
Do \(BC\parallel AD(gt),K\in AD,I\in BC\Rightarrow AK\parallel CI\) .
Tứ giác \(AICK\) có các cạnh đối song song nên là hình bình hành.
Do đó \(IK\) cắt \(AC\) tại \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Suy ra ba đường thẳng \(AC,BD,IK\) đồng quy.
