by Cho hàm số: \(y=\left( 2m-1 \right)x+2-m\) có đồ thị là đường thẳng (d).
a) Tìm m để hàm số đồng biến? hàm số nghịch biến?
b) Tìm m để (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 3.
c) Tìm m để (d) song song với đường thẳng \(y=x+3\). Với giá trị của m vừa tìm được hãy vẽ đường thẳng (d) ; gọi giao điểm của (d) với Ox và Oy lần lượt là M, N. Tính diện tích tam giác OMN.
d) Cho các đường thẳng \({{d}_{1}}:\,\,2x-y+7=0;\,\,\,\,{{d}_{2}}:\,\,x+y-1=0\). Tìm m để 3 đường thẳng \(d;\,\,{{d}_{1}};\,\,{{d}_{2}}\) đồng quy.
Phương pháp giải:
Phương pháp:
Câu a: Hàm số \(y=ax+b\) đồng biến khi \(a>0\) và nghịch biến khi \(a<0.\)
Câu b: Chú ý: đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm M thuộc trục Ox thì \(M\left( {{x}_{0}};0 \right).\) Khi đó ta thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d để tìm m.
Câu c: Cho đường thẳng \({{d}_{1}}:\,\,y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}};\,\,\,{{d}_{2}}:\,\,y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}.\) Khi đó \({{d}_{1}}//{{d}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ & {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{align} \right..\)
Tính diện tích tam giác OMN, ta vẽ đồ thị hàm số và các điểm. Khi đó: \({{S}_{MON}}=\frac{1}{2}OM.ON.\)
Câu d: Ta tìm giao điểm I của đường thẳng \({{d}_{1}};\,\,{{d}_{2}}\) sau đó thay tọa độ điểm I vào phương trình đườn thẳng d để tìm m.
Lời giải chi tiết:
Giải :
a) Hàm số đồng biến khi \(2m-1>0\Leftrightarrow m>\frac{1}{2}\)
Hàm số nghịch biến khi \(2m-1<0\Leftrightarrow m<\frac{1}{2}\)
b)d đi qua điểm (3; 0) \(\Leftrightarrow 0=3\left( 2m-1 \right)+2-m\Leftrightarrow m=\frac{1}{5}\).
c)
\(d\,\,//\,\,y = x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m – 1 = 1\\2 – m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)
\(\Rightarrow d:\,\,\,y = x + 1.\)
Ta có đồ thị hàm số:
Ta có: \(OM=1;\,\,\,ON=\left| -1 \right|=1\Rightarrow {{S}_{OMN}}=\frac{1}{2}OM.ON=\frac{1}{2}.\)
Vậy \({{S}_{OMN}}=\frac{1}{2}\).
d) Gọi I là giao điểm của . Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x – y + 7 = 0\\x + y – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x – y = – 7\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 2\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { – 2;3} \right).\\I \in d \Rightarrow 3 = – 2\left( {2m – 1} \right) + 2 – m\\ \Leftrightarrow 3 = – 4m + 2 + 2 – m\\ \Leftrightarrow 5m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{5}.\end{array}\)
Vậy \(m=\frac{1}{5}.\)
